Условие
Каждая независимая попытка успешна с вероятностью 1/2. T — номер попытки, на которой достигнут третий успех. Найдите P(T=7) и E(T).
Решение по шагам
Седьмая попытка должна быть успешной, а в первых шести должно быть ровно два успеха. Их места выбираются C(6,2)=15 способами. Каждая полная последовательность из семи исходов имеет вероятность 2⁻⁷. Поэтому P(T=7)=15/128.
Время до трёх успехов — сумма трёх независимых геометрических времён ожидания, каждое со средним 2. Следовательно E(T)=6.
Проверка результата
Перебор семибитных строк с успешным последним битом и двумя успехами в первых шести находит 15. Разложение по временам ожидания подтверждает среднее.
Типичная ошибка
C(7,3)/2⁷ считает три успеха за семь попыток, но допускает третий успех раньше седьмой. Условие остановки требует фиксировать последний исход.
Что даёт этот метод
Для r-го успеха на t-й попытке P(T=t)=C(t−1,r−1)pʳ(1−p)ᵗ⁻ʳ, t≥r. Среднее равно r/p.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.