Условия «за семь попыток произошло три промаха» и «третий промах произошёл на седьмой попытке» не совпадают. Во втором случае последняя попытка заранее закреплена за промахом.
Условие
Стрелок попадает по мишени с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что третий промах придётся на седьмой выстрел?
В расчёте, как и в формуле исходного решения, предполагаются независимые выстрелы с неизменной вероятностью попадания. Вероятность промаха равна q = 1 − 0,3 = 0,7.
Первые шесть выстрелов
Перед седьмым выстрелом должно быть ровно два промаха. Если промахов уже три, третий случился раньше; если их меньше двух, седьмой не сможет стать третьим.
Значит, среди первых шести выстрелов нужно выбрать две позиции для промахов и четыре для попаданий. Число способов равно:
C(6; 2) = 6 · 5/2 = 15.
Каждая такая последовательность имеет вероятность 0,7² · 0,3⁴, поэтому вероятность подходящего начала равна 15 · 0,7² · 0,3⁴.
Седьмой выстрел
Последний выстрел обязан быть промахом. По независимости его вероятность 0,7 умножается на вероятность первых шести:
P = C(6; 2) · 0,7² · 0,3⁴ · 0,7 = 15 · 0,7³ · 0,3⁴ = 0,0416745.
Ответ составляет 4,16745%. Формула совпадает с исходным решением; разбор позиций и численное значение добавлены при адаптации.
Почему C(7; 3) даёт другой ответ
Выбор трёх промахов среди всех семи позиций допускает, например, промахи на первом, втором и третьем выстрелах. Такая последовательность содержит ровно три промаха, но третий произошёл на третьем, а не на седьмом выстреле.
В нашей задаче седьмая позиция уже занята. Свободно распределяются только первые два промаха среди шести предыдущих позиций.
Общий шаблон
Редакционное обобщение: при независимых попытках с вероятностью промаха q вероятность того, что r-й промах произойдёт на k-й попытке, равна:
P(Tr = k) = C(k − 1; r − 1) · qr · (1 − q)k − r, k ≥ r.
Первые k − 1 попыток должны содержать ровно r − 1 промахов, последняя — ещё один. При k < r вероятность равна нулю: нужное число промахов не успеет накопиться.
Связанные материалы
Правило остановки в серии до трёх побед · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 10.5 · CC BY 4.0. Адаптация; добавлены пояснения и общий шаблон.