Задача из сборника «Заметки к семинарам по вероятностям» проекта probability_pro. Тема: дерево вероятностей и случайный момент завершения серии. Исходные данные и ответы сохранены; вместо рисунка дан текстовый подсчёт вариантов.
Условие
Две команды равной силы играют в волейбол до трёх побед одной из них, не обязательно подряд. Ничья невозможна. Вероятность победы каждой команды в одной партии равна 0,5. Пусть N — количество сыгранных партий.
Требуется найти распределение N, вероятность чётного числа партий и математическое ожидание E(N).
Модель решения: результаты отдельных партий считаются независимыми. Это явное уточнение вероятностной модели, используемой в исходном решении; равенство сил само по себе не доказывает независимость.
Возможные значения
Самая короткая серия состоит из трёх партий: одна команда выигрывает все три. Самая длинная — из пяти: после четырёх партий счёт может быть 2:2, а пятая определяет победителя. Поэтому N ∈ {3, 4, 5}.
Серия из трёх партий
Обозначим команды А и Б. Завершение после третьей партии возможно только при последовательностях ААА или БББ. Вероятность каждой последовательности равна (1/2)3:
P(N = 3) = 2 · (1/2)3 = 1/4.
Серия из четырёх партий
Пусть серию выигрывает А. Четвёртую партию обязательно выигрывает А, а среди первых трёх у неё ровно две победы. Победу Б можно поставить на одну из трёх позиций: БААА, АБАА, ААБА.
Есть ещё три симметричных последовательности с итоговой победой Б. Всего шесть последовательностей, каждая имеет вероятность (1/2)4:
P(N = 4) = 6/16 = 3/8.
Серия из пяти партий
Пятая партия нужна тогда и только тогда, когда после четырёх счёт равен 2:2. Позиции двух побед А среди четырёх партий можно выбрать шестью способами. Итог пятой партии для события N = 5 уже не важен:
P(N = 5) = 6/16 = 3/8.
Проверка через дополнение: 1 − 1/4 − 3/8 = 3/8.
| Число партий N | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 1/4 | 3/8 | 3/8 |
Чётное число партий и математическое ожидание
Единственное чётное значение среди 3, 4 и 5 — число 4:
P(N — чётное) = P(N = 4) = 3/8.
E(N) = 3 · 1/4 + 4 · 3/8 + 5 · 3/8 = 33/8 = 4,125.
Почему нельзя просто посчитать победы в пяти партиях
Пять партий играются не всегда. Например, последовательность АААББ не является реально сыгранной серией: после третьей победы А матч уже завершён. При подсчёте исходов необходимо учитывать правило остановки.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Все материалы по математике.
Борис Демешев и участники probability_pro · Заметки к семинарам по вероятностям, задача 1.4 · CC BY 4.0. Адаптировано; уточнена независимость партий, добавлено пояснение правила остановки.