В задаче 1.13 из «Заметок к семинарам по вероятностям» вероятность успеха меняется от шага к шагу. В отличие от испытаний с постоянной вероятностью успеха, поиск здесь может никогда не завершиться.
Условие
Мешочки занумерованы натуральными числами. В мешочке k находится один синий шарик и k(k + 2) красных. Из каждого мешочка по порядку случайно берут один шарик и останавливаются после первого синего. R — число извлечённых шариков; при отсутствии синего на всех шагах полагаем R = ∞. Найдите P(R ≥ k), P(R = ∞) и E(R).
Вероятность продолжения
Всего в мешочке j находится j(j + 2) + 1 = (j + 1)² шариков. Вероятность выбрать красный равна j(j + 2)/(j + 1)². Чтобы дойти до мешочка k, нужно получить красный в первых k − 1 мешочках. Используется модель независимых случайных выборов из разных мешочков.
Каждый множитель раскладывается в произведение j/(j + 1) и (j + 2)/(j + 1). Поэтому произведение от j = 1 до k − 1 сокращается:
P(R ≥ k) = (1/k) · ((k + 1)/2) = (k + 1)/(2k).
Например, P(R ≥ 1) = 1, P(R ≥ 2) = 3/4, P(R ≥ 3) = 2/3.
Вероятность бесконечного поиска
События R ≥ k убывают при увеличении k, а их пересечение означает бесконечный поиск. Следовательно:
P(R = ∞) = lim (k + 1)/(2k) = 1/2.
То, что в каждом отдельном мешочке есть синий шарик, ещё не означает, что он будет найден с вероятностью 1. Вероятности успеха здесь уменьшаются достаточно быстро.
Математическое ожидание
E(R) = ∞. Уже положительная вероятность значения ∞ исключает конечное ожидание. Тот же вывод даёт сумма хвостовых вероятностей: каждое слагаемое больше 1/2.
Дополнение: вероятность остановки ровно на шаге k
Следующий расчёт дополняет ответы источника:
P(R = k) = P(R ≥ k) − P(R ≥ k + 1) = 1/[2k(k + 1)].
Сумма этих вероятностей по всем конечным k равна 1/2. Остальная половина вероятностной массы приходится на R = ∞. Забыть эту массу и потребовать сумму конечных вероятностей 1 было бы ошибкой.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 1.13 · CC BY 4.0. Адаптировано; добавлены вывод и распределение конечных значений.