Задача 1.12 из «Заметок к семинарам по вероятностям» показывает разницу между почти верным завершением игры и конечным математическим ожиданием её продолжительности.
Условие
В мешочке один красный и один синий шарик. В каждом раунде случайно достают шарик. Красный возвращают и добавляют ещё один красный; после синего игра заканчивается. R — число раундов, включая последний. Требуется найти P(R ≥ k), P(R = ∞), P(R = k), смысл тождества 1/[k(k + 1)] = 1/k − 1/(k + 1), сумму этих вероятностей и E(R).
Вероятность дойти до раунда k
Для события R ≥ k первые k − 1 извлечений должны дать красные шарики. При первом извлечении вероятность равна 1/2, при следующем — 2/3, затем — 3/4. Перемножая условные вероятности, получаем:
P(R ≥ k) = (1/2) · (2/3) · … · ((k − 1)/k) = 1/k.
Для k = 1 произведение пустое и равно 1: первый раунд состоится обязательно.
Распределение числа раундов
Игра завершается на раунде k, если дошла до него, но не дошла до следующего. Поэтому:
P(R = k) = P(R ≥ k) − P(R ≥ k + 1) = 1/[k(k + 1)].
Это и есть вероятностный смысл указанного тождества. Первые значения: P(R = 1) = 1/2, P(R = 2) = 1/6, P(R = 3) = 1/12.
Может ли игра продолжаться бесконечно
Вероятность бесконечной игры равна пределу вероятностей её продолжения:
P(R = ∞) = lim 1/k = 0.
При этом заранее установленного максимального числа раундов нет. Для любого конечного k вероятность дойти до него положительна.
Сумма вероятностей конечных значений телескопическая: сумма от k = 1 до m равна 1 − 1/(m + 1). При m → ∞ она стремится к 1.
Почему математическое ожидание бесконечно
Для положительной целочисленной величины ожидание равно сумме хвостовых вероятностей. Здесь это гармонический ряд:
E(R) = P(R ≥ 1) + P(R ≥ 2) + … = 1 + 1/2 + 1/3 + … = ∞.
Таким образом, утверждения «игра заканчивается с вероятностью 1» и «средняя продолжительность конечна» не равносильны. Ответы совпадают с источником; развёрнутый вывод добавлен при адаптации.
Видеодополнение, указанное в сборнике: Joseph Newton — A finite game of infinite rounds.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 1.12 · CC BY 4.0. Адаптировано; добавлены промежуточные выкладки.