Знание вероятностей двух событий само по себе не определяет вероятность их совместного наступления. Эта задача позволяет найти точные границы, не добавляя отсутствующее в условии предположение независимости.
Условие
Известно, что P(A) = 0,3 и P(B) = 0,8. В каких пределах могут лежать P(A ∩ B) и P(A ∪ B)? Знак ∩ означает одновременное наступление обоих событий; ∪ — наступление хотя бы одного.
Верхняя граница пересечения
Пересечение содержится и в A, и в B. Поэтому его вероятность не больше меньшей из двух вероятностей:
P(A ∩ B) ≤ 0,3.
Граница достижима: достаточно, чтобы A всегда влекло B. Тогда все исходы события A входят в пересечение.
Нижняя граница пересечения
По формуле сложения P(A ∪ B) = 0,3 + 0,8 − P(A ∩ B). Левая часть не может быть больше 1, следовательно:
P(A ∩ B) ≥ 0,1.
Сделать события несовместными нельзя: их суммарная вероятность была бы 1,1. Минимальное пересечение достигается, когда объединение покрывает всё пространство исходов.
Границы объединения
Подставим найденный диапазон в формулу P(A ∪ B) = 1,1 − P(A ∩ B):
0,1 ≤ P(A ∩ B) ≤ 0,3;
0,8 ≤ P(A ∪ B) ≤ 1.
Это ответы исходной задачи. Чем больше пересечение при фиксированных P(A) и P(B), тем меньше объединение.
Редакционная проверка достижимости
Обозначим вероятность пересечения через c и разделим пространство на четыре непересекающиеся части:
| Часть пространства | Вероятность |
|---|---|
| Оба события | c |
| Только A | 0,3 − c |
| Только B | 0,8 − c |
| Ни A, ни B | c − 0,1 |
Сумма равна 1. Все четыре значения неотрицательны ровно при c от 0,1 до 0,3. Значит, достижимы не только границы, но и каждое промежуточное значение.
Типичная ошибка
Число 0,3 · 0,8 = 0,24 допустимо, но получается при независимости. Условие независимости не задано, поэтому это лишь один возможный случай, а не единственный ответ.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 3.3 · CC BY 4.0. Адаптировано; добавлена таблица достижимых вероятностей.