Наблюдение меняет вероятность гипотезы, но не обязательно делает её достоверной. Два орла подряд могут выпасть и у правильной монеты — этот вариант нужно сохранить в знаменателе формулы Байеса.
Условие
Перед Петей три монетки: две правильные и одна с орлами на обеих сторонах. Петя выбирает одну монетку наугад и подкидывает её два раза.
Какова вероятность получить двух орлов? Какова вероятность, что выбрана монета с двумя орлами, если оба броска дали орла?
Монета выбирается один раз и остаётся той же в обоих бросках. Для правильной монеты броски независимы, вероятность орла в каждом равна 1/2.
Вероятность двух орлов
Обозначим необычную монету через гипотезу H, а событие двух орлов — через B. Первоначально P(H) = 1/3, вероятность выбрать правильную монету равна 2/3.
При H два орла появляются обязательно: P(B | H) = 1. При правильной монете P(B | не H) = 1/4. По формуле полной вероятности:
P(B) = (1/3) · 1 + (2/3) · (1/4) = 1/2.
Обратная вероятность
Совместное событие «выбрана необычная монета и выпали два орла» имеет вероятность (1/3) · 1 = 1/3. Делим её на вероятность наблюдения:
P(H | B) = P(H ∩ B)/P(B) = (1/3)/(1/2) = 2/3.
Именно 2/3 указано в исходном решении. Ответ на первый вопрос 1/2 развёрнут из его знаменателя.
Как распределились вероятности между тремя монетами
До наблюдения каждая монета имела вероятность 1/3. Событие двух орлов в четыре раза вероятнее при необычной монете, чем при каждой правильной. После наблюдения относительные веса равны 1 : 1 : 4.
После нормировки каждая правильная монета имеет вероятность 1/6, необычная — 4/6 = 2/3. Эта проверка через веса добавлена при адаптации.
Типичная ошибка
Нельзя переставлять условие и гипотезу: P(B | H) = 1, но P(H | B) = 2/3. Также нельзя считать вероятность двух орлов равной 1/4 для всего опыта: третья монета устроена иначе.
Связанные материалы
Условная вероятность и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 7.1 · CC BY 4.0. Адаптировано; расчёт развёрнут, добавлена проверка весами.