Задача 2.2 из «Заметок к семинарам по вероятностям» посвящена геометрическому распределению. В исходном решении найдены три математических ожидания; ответ на вопрос о чётности ниже добавлен отдельно.
Условие
Неправильную монетку с вероятностью орла 0,7 подбрасывают до первого орла. Чему равно среднее количество подбрасываний, орлов и решек? Какова вероятность чётного числа бросков? Как изменятся ответы при вероятности орла p?
Броски считаем независимыми, а вероятность p постоянной. Для общих формул предполагается 0 < p ≤ 1. N — число бросков, включая завершающий.
Среднее число бросков
Первый бросок происходит обязательно. С вероятностью 1 − p он даёт решку, после чего эксперимент начинается заново. Для μ = E(N) получаем:
μ = 1 + (1 − p)μ, откуда E(N) = 1/p.
При p = 0,7 это 10/7 ≈ 1,429 броска. Последовательность может оказаться сколь угодно длинной, но её средняя длина конечна.
Сколько орлов и решек
При p > 0 первый орёл почти наверное появится. В завершившемся эксперименте орёл ровно один, поэтому E(число орлов) = 1.
Все остальные N − 1 бросков — решки:
E(число решек) = 1/p − 1 = (1 − p)/p.
Для p = 0,7 среднее число решек равно 3/7 ≈ 0,429. Эти три ожидания совпадают с ответами источника.
Дополнение: вероятность чётного числа бросков
Чтобы N равнялось n, первые n − 1 бросков должны дать решку, а n-й — орла. Поэтому P(N = n) = (1 − p)n − 1p.
Обозначим q = 1 − p. Для чётных n = 2, 4, 6, … сумма равна pq + pq³ + pq⁵ + … = pq/(1 − q²). После сокращения:
P(N чётно) = (1 − p)/(2 − p).
При p = 0,7 получаем 3/13 ≈ 0,231, а не 1/2. Остановка на первом, нечётном броске уже имеет вероятность 0,7.
Проверка граничного случая
При p = 1 всегда N = 1: ожидание равно 1, решек нет, вероятность чётности равна 0. При p = 0 эксперимент не заканчивается; подставлять ноль в формулу 1/p нельзя.
Связанные материалы
Выбор лампочек без возвращения: другая модель остановки · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 2.2 · CC BY 4.0. Адаптировано; пункт о чётности дополнен редакцией.