В задаче о случайном моменте выхода нужно сначала определить, успеет ли автобус догнать пешехода до конца маршрута. Нельзя просто сравнить время ожидания со всеми двадцатью минутами пешего пути.
Условие
От Жабино до Гадюкино автобус едет 2 минуты, пешеход идёт 20 минут. Автобусы отправляются регулярно через 30 минут и подбирают путников даже вне остановок. Вы приходите в Жабино в случайный момент и сразу идёте пешком. Найдите вероятность, что автобус догонит вас; среднее время в пути при условии поездки на автобусе; безусловное среднее время.
В модели решения скорости постоянны, посадка не занимает дополнительного времени, а время W до следующего отправления равномерно на отрезке от 0 до 30 минут.
Когда автобус успеет догнать
Обозначим расстояние между пунктами через D, а время от вашего выхода до встречи — t. К моменту встречи пешеход прошёл Dt/20, автобус — D(t − W)/2. Приравниваем расстояния:
t/20 = (t − W)/2, поэтому t = 10W/9.
Встреча должна произойти до конца пешего маршрута: t < 20. Следовательно, W < 18. Граничная точка не влияет на вероятность.
P(автобус догонит) = 18/30 = 3/5 = 0,6.
Время при условии поездки на автобусе
Автобус прибывает в Гадюкино через W + 2 минуты после вашего выхода независимо от места посадки. При условии W < 18 величина W равномерна от 0 до 18, и её среднее равно 9.
E(T | поездка на автобусе) = 9 + 2 = 11 минут.
Это всё время от выхода из Жабино, включая пешую часть, а не только минуты в автобусе.
Среднее время без условия
С вероятностью 0,6 часть пути удастся проехать; с вероятностью 0,4 весь маршрут будет пройден пешком за 20 минут. По формуле полного ожидания:
E(T) = 0,6 · 11 + 0,4 · 20 = 14,6 минуты = 14 минут 36 секунд.
Проверка и типичная ошибка
При W = 0 поездка занимает 2 минуты. При W, близком к 18, общее время близко к 20 минутам. Поэтому условное среднее 11 лежит ровно посередине допустимого интервала.
Ответ 20/30 для вероятности встречи неверен: автобус, отправившийся за минуту до конца пешего пути, ещё должен догнать вас. Вывод через относительные скорости поясняет краткие ответы исходного сборника.
Связанные материалы
Вероятности и условное математическое ожидание · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 4.6 · CC BY 4.0. Адаптировано; добавлены вывод и проверка.