Задача на математическое ожидание в процессе с повторными попытками. Основная трудность — учесть время, потраченное в неудачно выбранной комнате, прежде чем поиск начнётся заново.
Условие
В первой комнате лежит сыр: попав туда, мышка находит его через одну минуту. Во второй комнате она ищет две минуты, в третьей — три минуты, после чего возвращается в коридор. Из коридора мышка снова выбирает комнату наугад; повторное посещение разрешено. Сначала она находится в коридоре. Сколько времени в среднем потребуется для нахождения сыра?
В модели исходного решения каждая комната выбирается с вероятностью 1/3 независимо от предыдущих выборов. Время переходов отдельно не добавляется.
Решение методом первого шага
Обозначим искомое среднее время через μ. Рассмотрим первый выбор.
Первая комната завершает поиск за 1 минуту. Вторая требует 2 минуты и возвращает мышку в исходную ситуацию: впереди в среднем ещё μ минут. Третья аналогично требует 3 + μ минут.
μ = (1/3) · 1 + (1/3) · (2 + μ) + (1/3) · (3 + μ).
Сумма известных затрат равна 2 минутам, коэффициент при μ справа — 2/3. Поэтому μ = 2 + 2μ/3, откуда:
μ = 6 минут.
Почему ответ не равен двум минутам
Число (1 + 2 + 3)/3 = 2 — это средняя продолжительность только одного посещения комнаты. Но при двух из трёх возможных первых выборов сыр не найден и нужны новые посещения. Остановиться на этом среднем означает не учесть повторные попытки.
Редакционная проверка через неудачные посещения
Количество посещений до первого выбора комнаты с сыром имеет геометрическое распределение с вероятностью успеха 1/3. В среднем происходит два неудачных посещения и одно успешное.
При условии неудачи выбраны вторая или третья комнаты с равными вероятностями; средняя длительность такого посещения — 2,5 минуты. После всех неудач успешное посещение занимает одну минуту:
2 · 2,5 + 1 = 6 минут.
Эта проверка добавлена к основному уравнению источника. Если бы мышка исключала уже проверенные комнаты, модель и ответ изменились бы: правило повторного выбора существенно.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 2.12 · CC BY 4.0. Адаптировано; добавлена альтернативная проверка.