Задачу с большим числом случайных объектов часто проще решить через одну пару и линейность математического ожидания. Считать все конфигурации ста хорд не требуется.
Условие
На окружности построены 100 случайных секущих отрезков. Каждый отрезок соединяет две точки, независимо и равномерно выбранные на окружности; выборы для разных отрезков также независимы.
Какова вероятность пересечения первого и второго отрезков? Сколько пересечений получится в среднем?
Когда две хорды пересекаются
Обозначим концы первой хорды A₁ и A₂, второй — B₁ и B₂. Две хорды пересекаются внутри окружности тогда и только тогда, когда их концы чередуются при обходе окружности.
Начнём обход с A₁. Для остальных трёх различных точек возможны 3! = 6 равновероятных порядков. Чередование дают два:
A₁, B₁, A₂, B₂ и A₁, B₂, A₂, B₁.
P(две хорды пересекаются) = 2/6 = 1/3.
Совпадение концов имеет нулевую вероятность. Указанный способ выбора хорд важен: другой механизм случайного построения не обязан давать ту же вероятность.
Сто хорд
Для каждой неупорядоченной пары хорд введём индикатор: 1, если пара пересекается, и 0 в противном случае. Математическое ожидание каждого индикатора равно 1/3.
Всего пар C(100, 2) = 100 · 99/2 = 4950. По линейности ожидания:
E(число пересекающихся пар) = 4950 · 1/3 = 1650.
При независимых непрерывных выборах концов совпадение трёх хорд в одной внутренней точке имеет вероятность ноль. Поэтому число пересекающихся пар почти наверное совпадает с числом различных внутренних точек пересечения.
Что здесь не требуется
Индикаторы пересечений разных пар не нужно объявлять независимыми. Линейность математического ожидания работает и без такого предположения.
Ответ 1650 — среднее по множеству случайных построений, а не обязательное число пересечений в каждом рисунке. Источник приводит вероятность 1/3 и формулу C(100, 2)/3; здесь добавлены численное значение и развёрнутый подсчёт.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическое ожидание · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 4.26 · CC BY 4.0. Адаптировано; подсчёт пар и условия модели пояснены.