При равномерном выборе точки внутри фигуры вероятности определяются площадями. Равномерность по площади не означает, что каждая координата точки тоже равномерна на своём диапазоне.
Условие
Дан треугольник с вершинами (0; 0), (2; 0) и (1; 1). Внутри него выбирается случайная точка; X — её абсцисса. Найдите P(X > 1), P(0,5 ≤ X ≤ 1) и E(X).
Как предполагает геометрическое решение источника, точка выбирается равномерно по площади всего треугольника.
Вероятность оказаться правее середины
Вертикальная прямая x = 1 — ось симметрии фигуры. Она делит треугольник на две части равной площади. Поэтому:
P(X > 1) = 1/2.
Попадание точно на прямую имеет нулевую вероятность и не меняет ответ.
Вероятность попасть в полосу от 0,5 до 1
Площадь всего треугольника равна 2 · 1/2 = 1. Его левая половина имеет площадь 1/2.
Часть левее x = 0,5 — маленький прямоугольный треугольник с катетами 0,5 и 0,5. Его площадь равна 1/8. Значит, площадь нужной полосы — разность:
P(0,5 ≤ X ≤ 1) = 1/2 − 1/8 = 3/8.
Математическое ожидание
При отражении относительно x = 1 координата X превращается в 2 − X. Распределение не меняется, поэтому E(X) = E(2 − X) = 2 − E(X).
E(X) = 1.
Все три ответа совпадают с источником; подробные вычисления площадей и аргумент с отражением добавлены при адаптации.
Почему X не равномерна на отрезке от 0 до 2
Узкая вертикальная полоса возле x = 1 содержит больше площади, чем полоса той же ширины возле x = 0. Поэтому значения координаты вблизи середины встречаются чаще.
Редакционное дополнение: плотность X равна x при 0 ≤ x ≤ 1 и 2 − x при 1 < x ≤ 2; вне этого отрезка она нулевая. Интеграл плотности от 0,5 до 1 снова равен 3/8. Ответ 1/4, полученный лишь из отношения длин отрезков, здесь неверен.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 4.2 · CC BY 4.0. Адаптировано; добавлены выкладки и плотность.