Условия «в наборе есть хотя бы один туз» и «в наборе есть туз пик» выделяют разные множества наборов. Поэтому вероятность второго туза после такой информации тоже различается.
Условие
Игрок получает случайные 13 карт из колоды в 52 карты. Найдите вероятность как минимум двух тузов, если известно, что есть хотя бы один туз. Затем найдите ту же вероятность, если известно, что есть туз пик.
Все 13-карточные наборы равновероятны; в колоде четыре туза и 48 остальных карт. C(n, k) обозначает число сочетаний из n по k.
Первое условие: есть хотя бы один туз
Общее число наборов равно C(52, 13). Без тузов можно выбрать C(48, 13) наборов. С ровно одним тузом — 4 · C(48, 12): выбираем туза и двенадцать остальных карт.
После условия «есть хотя бы один» допустимыми остаются C(52, 13) − C(48, 13) наборов. Для минимум двух тузов исключаем из них наборы ровно с одним:
P₁ = [C(52, 13) − C(48, 13) − 4C(48, 12)] / [C(52, 13) − C(48, 13)] ≈ 0,369637.
То есть примерно 36,96%. В источнике указан округлённый ответ 0,37; полная формула здесь развёрнута через дополнение.
Второе условие: есть туз пик
Теперь туз пик уже включён в набор. Остаётся выбрать двенадцать карт из 51 оставшейся; среди них три туза и 48 нетузовых карт.
Не получить ни одного дополнительного туза можно C(48, 12) способами из C(51, 12). Поэтому:
P₂ = 1 − C(48, 12)/C(51, 12) ≈ 0,561152.
Это примерно 56,12%, в соответствии с округлённым ответом источника 0,56.
Проверка второй формулы через Байеса
Вероятность попадания туза пик в случайные 13 карт равна 13/52. Вероятность того, что он единственный туз в наборе, равна C(48, 12)/C(52, 13). Делим вторую вероятность на первую и вычитаем из 1.
Получается тот же ответ, поскольку C(52, 13) · (13/52) = C(51, 12). Именно такой путь используется в исходном решении; подсчёт после фиксации туза пик — его равносильная запись.
Почему ответы различаются
При первом условии неизвестно, какой туз присутствует. Нельзя просто вычеркнуть один заранее выбранный туз из колоды и считать оставшиеся карты равномерным набором из 51.
Второе условие действительно фиксирует конкретную карту, поэтому такой приём корректен. Разница между 36,96% и 56,12% возникает из различия условий, а не из ошибки округления.
Связанные материалы
Условная вероятность и комбинаторика · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 7.4 · CC BY 4.0. Адаптировано; формулы развёрнуты, округление уточнено.