Задача на соседство двух выделенных объектов в случайном линейном порядке. Её можно решить как подсчётом пар позиций, так и объединением двух объектов в один блок.
Условие и необходимое уточнение
В классе 25 человек. Какова вероятность, что фамилии Пети и Васи идут подряд в классном журнале?
Исходное решение рассматривает все пары позиций как равновероятные. Явно зафиксируем эту модель: порядок учеников случаен либо позиции двух выделенных учеников равномерно выбраны из всех пар. Для уже известного алфавитного списка соседство — установленный факт, а не случайный эксперимент.
Решение через пары позиций
Две разные позиции из 25 можно выбрать C(25, 2) = 25 · 24/2 = 300 способами. Здесь C(n, k) означает число сочетаний: число способов выбрать k объектов из n без учёта порядка.
Соседних пар позиций ровно 24: (1, 2), (2, 3), …, (24, 25). Поэтому:
P(Петя и Вася рядом) = 24/300 = 2/25 = 0,08.
Это основной способ и ответ, приведённые в источнике.
Редакционная проверка методом склеивания
Считаем все 25! перестановок учеников равновероятными. Объединим Петю и Васю в один блок: вместе с остальными 23 учениками получится 24 объекта. Их можно расставить 24! способами.
Внутри блока есть два порядка: Петя—Вася и Вася—Петя. Подходящих перестановок 2 · 24!, откуда:
P = 2 · 24!/25! = 2/25.
Почему не 2/24
После фиксации места Пети у Васи остаётся 24 позиции. Но два соседних места существуют только у внутренних позиций Пети; у первой и последней позиции сосед всего один. Нельзя использовать 2/24 для всех случаев без усреднения по положению Пети.
Проверка: с вероятностью 23/25 Петя внутри списка, с вероятностью 2/25 — на краю. Получаем (23/25)(2/24) + (2/25)(1/24) = 2/25.
Связанные материалы
Дискретная математика и вероятность · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 4.20 · CC BY 4.0. Адаптировано; модель уточнена, добавлены две проверки.