Условие
N имеет геометрическое распределение на 1,2,… с p=1/2. Независимо от N величины Xᵢ принимают 1 и 3 с равными вероятностями и независимы между собой. S=Σᵢ₌₁ᴺXᵢ. Найдите E(S), Var(S).
Решение по шагам
Для одного слагаемого E(X)=2 и Var(X)=1. Для числа слагаемых E(N)=2 и Var(N)=2. При условии N=n получаем E(S|N)=2N и Var(S|N)=N.
По полному ожиданию E(S)=2E(N)=4. Полная дисперсия даёт Var(S)=E(N)+Var(2N)=2+4·2=10. Второй член учитывает колебания количества слагаемых.
Проверка результата
Общая формула Var(S)=E(N)Var(X)+Var(N)[E(X)]² даёт 2·1+2·4=10. При фиксированном N=2 дисперсия была бы лишь 2, что объясняет дополнительный вклад.
Типичная ошибка
Подставить среднее N вместо случайного N и забыть его дисперсию нельзя. Независимость N от последовательности X здесь является явной предпосылкой.
Что даёт этот метод
Условное ожидание и полная дисперсия позволяют работать со случайным объёмом выборки или суммой затрат без получения распределения всей суммы.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.