Замена случайного числа слагаемых его средним сохраняет среднее суммы, но обычно занижает дисперсию. Дополнительный разброс появляется из-за изменчивости самой длины суммы.
Условие
X₁, X₂,… независимы и одинаково распределены N(2, 9). Число слагаемых N независимо от всей последовательности и имеет распределение Pois(10). Пусть S = Σi=1NXᵢ; при N = 0 сумма равна 0. Найдите E(S), Var(S) и Cov(S, N).
В источнике решение отсутствует; далее — редакционный расчёт.
Сначала фиксируем число слагаемых
При N = n сумма имеет среднее 2n и дисперсию 9n. Для n ≥ 1 она нормально распределена N(2n, 9n), при n = 0 вырождена в нуле.
E(S | N) = 2N; Var(S | N) = 9N.
Независимость N от Xᵢ позволяет использовать те же распределения слагаемых после условия на N.
Безусловное ожидание
По формуле полного ожидания:
E(S) = E(2N) = 2 · 10 = 20.
В этом пункте подстановка среднего числа слагаемых даёт правильное значение. Но для дисперсии требуется ещё один шаг.
Полная дисперсия
Разложим Var(S) на среднее условной дисперсии и дисперсию условного среднего:
Var(S) = E(9N) + Var(2N) = 9E(N) + 4Var(N).
Для Pois(10) и среднее, и дисперсия равны 10. Поэтому:
Var(S) = 90 + 40 = 130.
Число 90 было бы дисперсией суммы ровно десяти слагаемых. Оно не учитывает, что в разных опытах число слагаемых меняется.
Ковариация суммы с её длиной
При известном N величина N постоянна, поэтому условная ковариация равна нулю. Полная ковариация даёт:
Cov(S, N) = Cov(E(S | N), N) = Cov(2N, N) = 2Var(N) = 20.
Проверка через произведение: E(SN) = E[N · E(S | N)] = 2E(N²) = 2(10 + 100) = 220. Вычитание E(S)E(N) = 200 снова даёт 20.
Сумма не является точно нормальной
Хотя при фиксированном положительном N сумма нормальна, без условия получается смесь разных нормальных распределений. Кроме того, P(S = 0) = P(N = 0) = e−10: у суммы есть атом в нуле. Поэтому назвать её точно нормальной нельзя.
Смесь распределений и полная дисперсия · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 23.9 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.