Если пешеход подошёл на зелёный, ждать не нужно вообще. Поэтому время ожидания имеет не только непрерывную часть, но и положительную вероятность ровно нулевого значения. Это простой пример смешанного распределения.
Условие и модель
Светофор попеременно горит 40 секунд зелёным и 60 секунд красным. Вася подходит в случайный момент. Пусть X — время до возможности перейти дорогу. Найдите функцию распределения X, математическое ожидание и дисперсию.
Для расчёта уточняем модель: момент прихода равномерно распределён по 100-секундному циклу, а переход можно начать сразу при зелёном сигнале. В исходном сборнике решение не заполнено; далее дано решение редакции.
Нулевая задержка и положительное ожидание
Зелёный занимает 40 из 100 секунд цикла. Следовательно, P(X = 0) = 40/100 = 0,4.
На красный пешеход попадает с вероятностью 0,6. При условии красного сигнала оставшееся до зелёного время равномерно распределено на [0; 60]. Однако безусловное распределение X не является равномерным на этом отрезке: отдельно нужно учитывать массу в нуле.
Функция распределения
Для 0 ≤ x < 60 событие X ≤ x состоит из двух непересекающихся случаев: Вася пришёл на зелёный или в последние x секунд красного. Общая длительность подходящих моментов цикла равна 40 + x:
F(x) = 0 при x < 0; F(x) = 0,4 + x/100 при 0 ≤ x < 60; F(x) = 1 при x ≥ 60.
График сначала совпадает с нулём, в точке 0 скачком поднимается до 0,4, затем линейно растёт до 1 в точке 60 и остаётся горизонтальным.
На (0; 60) непрерывная часть имеет плотность 1/100. Её интеграл равен 0,6. Это не обычная плотность всего распределения: оставшиеся 0,4 сосредоточены в одной точке и интегралом по длине не описываются.
Среднее время ожидания
При зелёном ожидание равно нулю; при красном среднее оставшееся время составляет 30 секунд. Поэтому:
E(X) = 0,4 · 0 + 0,6 · 30 = 18 секунд.
Проверка через непрерывную часть: E(X) = ∫₀⁶⁰ x/100 dx = 18. Масса в нуле не даёт вклада в этот интеграл, поскольку её значение равно нулю.
Второй момент и дисперсия
E(X²) = ∫₀⁶⁰ x²/100 dx = 720 секунд².
Отсюда Var(X) = 720 − 18² = 396 секунд². Стандартное отклонение, если оно требуется, равно √396 = 6√11 ≈ 19,90 секунды.
Через условные распределения получается тот же результат: 0,6 · Var(U[0; 60]) + Var(E(X | цвет сигнала)) = 0,6 · 300 + 216 = 396.
Почему ответ не 30 секунд
30 секунд — среднее ожидание только среди тех, кто пришёл на красный. В исходном вопросе учитываются все приходы, включая 40% случаев без задержки. Смешение условного и безусловного среднего приводит к завышенному ответу.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 9.15 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; модель уточнена, решение редакции.