Дискретная величина 0, 1, 3: ожидание, дисперсия и две функции распределения

Одна таблица распределения позволяет найти среднее, дисперсию и условные характеристики. Однако функции P(X < x) и P(X ≤ x) у дискретной величины различаются именно в точках, где сосредоточена вероятность.

Условие

Исходное распределение X

x	0	1	3
P(X = x)	0,1	0,2	0,7

Нужно найти P(X > 1), E(X), E(X²), Var(X), стандартное отклонение, условные моменты при X > 1, функции F^L(x) = P(X < x), F^R(x) = P(X ≤ x) и u(x) = P(X = x). Есть ли у X обычная плотность?

Моменты и дисперсия

Функция F^R приведена в ответе сборника. Расчёты моментов и остальных характеристик ниже — редакционное дополнение.

Значение больше единицы здесь только одно: 3. Поэтому P(X > 1) = 0,7.

E(X) = 0 · 0,1 + 1 · 0,2 + 3 · 0,7 = 2,3.

E(X²) = 0² · 0,1 + 1² · 0,2 + 3² · 0,7 = 6,5.

Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 6,5 − 5,29 = 1,21; σ_X = 1,1.

Квадрат математического ожидания и ожидание квадрата — разные числа: 5,29 и 6,5. Их разность измеряет разброс величины.

Что меняется при условии X > 1

Условие оставляет только исход X = 3, то есть условное распределение становится вырожденным:

E(X | X > 1) = 3; E(X² | X > 1) = 9; Var(X | X > 1) = 0.

Исходная вероятность 0,7 не умножается на условное среднее: после перехода к условному распределению оставшийся исход имеет вероятность 1.

Строгое и нестрогое неравенство

Кусочные формулы функций распределения

Функция	Значения
FR(x)	0 при x < 0; 0,1 при 0 ≤ x < 1; 0,3 при 1 ≤ x < 3; 1 при x ≥ 3.
FL(x)	0 при x ≤ 0; 0,1 при 0 < x ≤ 1; 0,3 при 1 < x ≤ 3; 1 при x > 3.

Их графики — ступеньки с одинаковыми горизонтальными участками, но разным включением концов. Например, F^L(1) = 0,1, а F^R(1) = 0,3.

u(0) = 0,1; u(1) = 0,2; u(3) = 0,7; в остальных точках u(x) = 0. В каждой точке F^R(x) − F^L(x) = u(x).

Почему это не плотность

У X нет обычной плотности относительно длины на числовой прямой: отдельные точки имеют положительную вероятность. Функция u — функция вероятностей дискретной величины, а не непрерывная плотность. Её значения суммируют, а не интегрируют по длине.

Связанные материалы

Распределение и ожидание в задаче о конфетах · Математика.

Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 9.5 · CC BY 4.0. Адаптация; решение дополнено.