Симметрия плотности сразу даёт нулевое среднее, но не нулевую дисперсию. После условия X > 0 симметрия исчезает: распределение нужно заново нормировать на положительной половине отрезка.
Условие
Плотность X равна f(x) = 3x²/16 при −2 ≤ x ≤ 2 и нулю вне этого отрезка. Требуется найти вероятность X > 1, моменты, дисперсию, стандартное отклонение, условные характеристики при X > 0, функцию распределения, медиану и 40%-ю квантиль.
В зафиксированной версии сборника решение этой задачи не заполнено. Ниже — решение редакции для исходного условия.
Плотность и функция распределения
Проверим нормировку: интеграл (3/16)∫₋₂² x² dx равен 1. На отрезке график плотности представляет собой часть параболы с минимумом 0 в начале координат и значением 3/4 на обоих концах.
Для −2 ≤ x ≤ 2 интегрирование от левого края носителя даёт:
F(x) = (x³ + 8)/16.
При x < −2 функция равна 0, при x > 2 — 1. Контрольные точки для построения графика: F(−2) = 0, F(−1) = 7/16, F(0) = 1/2, F(1) = 9/16, F(2) = 1.
Поскольку распределение непрерывно, P(X < x) = P(X ≤ x) = F(x), а P(X = x) = 0 для каждой фиксированной точки.
Вероятность и моменты
P(X > 1) = 1 − F(1) = 7/16.
Функция xf(x) нечётна на симметричном отрезке, поэтому E(X) = 0. Для второго момента:
E(X²) = (3/16)∫₋₂² x⁴ dx = 12/5.
Следовательно, Var(X) = 12/5; σX = √(12/5) ≈ 1,5492.
Нулевое среднее означает компенсацию положительных и отрицательных значений. Оно не означает, что величина почти всегда равна нулю: наоборот, плотность у краёв выше.
Условие X > 0
По симметрии P(X > 0) = 1/2. На (0; 2) условная плотность равна исходной, делённой на 1/2:
f(x | X > 0) = 3x²/8.
Теперь E(X | X > 0) = (3/8)∫₀² x³ dx = 3/2, а E(X² | X > 0) = 12/5. Отсюда:
Var(X | X > 0) = 12/5 − (3/2)² = 3/20.
Условный второй момент совпал с безусловным из-за симметрии x². Условная дисперсия значительно меньше, потому что удалена вся отрицательная половина значений.
Медиана и квантиль
Медиана удовлетворяет F(m) = 1/2, поэтому m = 0. Для 40%-й квантили решаем:
(q³ + 8)/16 = 0,4; q³ = −8/5.
q0,4 = −∛(8/5) ≈ −1,1696.
Проверка знака: квантиль уровня меньше 1/2 должна лежать левее медианы. Положительный ответ здесь сигнализировал бы об ошибке.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 9.6 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.