Равномерное положение точки не всегда означает равномерное расстояние до заданного числа. Одно расстояние может получаться с двух сторон, другое — только с одной. Нужно посчитать, какая часть исходного отрезка соответствует каждому случаю.
Условие
Величина X равномерно распределена на [−2; 1]. Величина Y — расстояние от X до числа −1, то есть Y = |X + 1|. Найдите плотность Y и E(Y).
Плотность и математическое ожидание даны в исходном решении; вывод через длины отрезков и функция распределения ниже добавлены при адаптации.
Возможные расстояния
Левый конец исходного отрезка находится на расстоянии 1 от −1, правый — на расстоянии 2. Поэтому 0 ≤ Y ≤ 2.
Для расстояния меньше 1 существуют два положения точки: −1 − y и −1 + y. Для расстояния больше 1 левое положение уже выходит за границу −2. Остаётся только правое.
Функция распределения через длину отрезка
Условие Y ≤ y равносильно попаданию X в [−1 − y; −1 + y]. Вероятность равна длине пересечения этого отрезка с [−2; 1], делённой на 3 — длину исходного носителя.
При 0 ≤ y ≤ 1 весь отрезок длины 2y помещается внутри носителя. Поэтому FY(y) = 2y/3.
При 1 ≤ y ≤ 2 левая граница пересечения фиксируется в −2, а правая равна −1 + y. Длина пересечения составляет y + 1, поэтому FY(y) = (y + 1)/3.
При y < 0 функция распределения равна 0, при y > 2 — 1. Обе внутренние формулы дают 2/3 в точке y = 1: скачка вероятности нет.
Плотность расстояния
Дифференцируем функцию распределения на её гладких участках:
fY(y) = 2/3 при 0 < y < 1; fY(y) = 1/3 при 1 < y < 2.
Вне [0; 2] плотность нулевая. Значения в отдельных граничных точках на вероятности не влияют. Проверка нормировки: (2/3) · 1 + (1/3) · 1 = 1.
Плотность уменьшается вдвое после y = 1: в первой части расстояние создают две ветви преобразования, во второй — одна.
Среднее расстояние
E(Y) = ∫₀¹ (2y/3) dy + ∫₁² (y/3) dy = 1/3 + 1/2 = 5/6.
Проверить ответ можно без новой плотности: интеграл |x + 1|/3 по исходному отрезку [−2; 1] даёт ту же сумму площадей двух треугольников, делённую на 3.
Типичная ошибка
Нельзя объявить Y равномерной на [0; 2]. Тогда получилось бы E(Y) = 1, а вероятность Y ≤ 1 оказалась бы 1/2. В действительности последнее событие соответствует отрезку [−2; 0] длины 2 и имеет вероятность 2/3.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 9.9 · CC BY 4.0. Адаптация; добавлен вывод через функцию распределения.