Минимальное расстояние среди всех пар упорядоченных точек обязательно достигается на соседях. Это позволяет заменить множество попарных ограничений простой системой ограничений на соседние промежутки.
Dmin=minᵢ(U(i+1)−U(i))
Условие
На [0; 1] независимо и равномерно отмечают n точек, n ≥ 2. Пусть D — минимальное расстояние между двумя отмеченными точками. Найдите P(D > x). Концы отрезка не считаются дополнительными отмеченными точками.
Упорядочивание и сдвиг
Обозначим координаты по возрастанию U₁ < … < Uₙ. С вероятностью 1 совпадений нет. Событие D > x эквивалентно Ui+1 − Uᵢ > x для всех i = 1,…,n − 1.
Введём Zᵢ = Uᵢ − (i − 1)x. Тогда нужная область превращается в область упорядоченных точек:
0 < Z₁ < … < Zₙ < 1 − (n − 1)x.
Сдвиг имеет единичный якобиан. Если обозначить длину нового отрезка через L, объём упорядоченного симплекса равен Lⁿ/n!, а исходного — 1/n!.
Ответ
Отношение объёмов даёт формулу источника с явно указанным диапазоном:
P(D > x) = [1 − (n − 1)x]ⁿ при 0 ≤ x ≤ 1/(n − 1).
При x < 0 вероятность равна 1. При x > 1/(n − 1) она равна 0: n точек невозможно разместить на единичном отрезке с такими соседними расстояниями. На правой границе вероятность также нулевая.
Пример
Редакционный пример: для трёх точек вероятность всех попарных расстояний больше 0,2 равна (1 − 2 · 0,2)³ = 0,216. При x = 0 ответ равен 1, что согласуется с нулевой вероятностью точного совпадения независимых непрерывных точек.
Почему важны концы отрезка
Если дополнительно потребовать расстояния больше x от крайней левой точки до 0 и от крайней правой до 1, ограничений будет n + 1. Тогда получится другая формула: [1 − (n + 1)x]ⁿ на 0 ≤ x ≤ 1/(n + 1).
В исходной задаче эти крайние промежутки не ограничены. Замена n − 1 на n + 1 без изменения условия поэтому неверна. Равенство и строгое неравенство на отдельных границах областей здесь не меняют вероятность, поскольку эти границы имеют нулевой объём.
Случайные разрезы и длины частей · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 4.18 · CC BY 4.0. Адаптация; геометрический вывод и диапазоны уточнены.