Условная плотность — это не просто исходная плотность на меньшем отрезке. После ограничения нужно поделить её на вероятность условия. В этой задаче такой пересчёт меняет нормировочный коэффициент в 16 раз.
Условие
Плотность случайной величины X равна f(x) = x/8 при 0 ≤ x ≤ 4 и нулю вне этого отрезка. Найдите P(X < 1), математическое ожидание, второй момент, дисперсию, стандартное отклонение, условные моменты при X < 1, функцию распределения, медиану и 40%-ю квантиль.
Численные ответы и формулы распределения приведены в сборнике; ниже добавлены промежуточные вычисления.
Функция распределения
Интеграл плотности на [0; 4] равен 1. Для 0 ≤ x ≤ 4:
F(x) = ∫₀ˣ t/8 dt = x²/16.
При x < 0 функция равна 0, при x > 4 — 1. На носителе график плотности — отрезок прямой от (0; 0) до (4; 1/2); график функции распределения — возрастающая ветвь параболы от (0; 0) до (4; 1).
У распределения нет атомов: P(X = x) = 0 для любой фиксированной точки. Поэтому P(X < x) и P(X ≤ x) совпадают. В частности, P(X < 1) = F(1) = 1/16.
Безусловные моменты
E(X) = ∫₀⁴ x · x/8 dx = 8/3.
E(X²) = ∫₀⁴ x² · x/8 dx = 8.
Следовательно, Var(X) = 8 − (8/3)² = 8/9, а стандартное отклонение равно σ = √(8/9) = 2√2/3.
Среднее больше середины отрезка: плотность возрастает, поэтому большие значения встречаются чаще малых. Подмена этого распределения равномерным дала бы неверный ответ E(X) = 2.
Условное распределение при X < 1
Вероятность условия равна 1/16. Поэтому на (0; 1):
f(x | X < 1) = (x/8)/(1/16) = 2x.
Проверка нормировки: ∫₀¹ 2x dx = 1. Теперь:
E(X | X < 1) = ∫₀¹ 2x² dx = 2/3.
E(X² | X < 1) = ∫₀¹ 2x³ dx = 1/2.
Var(X | X < 1) = 1/2 − (2/3)² = 1/18.
Нельзя оставить плотность x/8 без нормировки: её интеграл на [0; 1] равен только 1/16, а не единице.
Медиана и 40%-я квантиль
Для уровня α от 0 до 1 уравнение F(q) = α принимает вид q²/16 = α. Поскольку носитель неотрицателен, выбираем положительный корень:
qα = 4√α.
Медиана равна q0,5 = 2√2 ≈ 2,8284. Для уровня 0,4 получаем q0,4 = 4√10/5 ≈ 2,5298.
Подстановка в функцию распределения возвращает соответственно 0,5 и 0,4. Эти квантили относятся к исходному распределению, а не к распределению после условия X < 1.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 9.7 · CC BY 4.0. Адаптация; вычисления развёрнуты.