Для математического ожидания числа пустых коробок достаточно рассмотреть одну коробку. Для дисперсии понадобится ещё вероятность того, что одновременно пустуют две разные коробки.
Условие и модель
По десяти коробкам наугад раскладывают семь карандашей. Найдите среднее количество пустых коробок и его дисперсию.
Уточняем модель: каждый карандаш независимо попадает в любую из десяти коробок с вероятностью 1/10. В сборнике дан ответ для среднего; вывод и расчёт дисперсии ниже — редакционное дополнение.
Одна пустая коробка
Один карандаш не попадает в выбранную коробку с вероятностью 9/10. Чтобы коробка осталась пустой, её должны обойти все семь карандашей:
q = P(коробка пуста) = (9/10)⁷ = 0,4782969.
Обозначим индикатор пустоты i-й коробки через Ii. Тогда число пустых коробок X = I₁ + … + I₁₀, а E(Ii) = q. По линейности:
E(X) = 10q = 10 · 0,9⁷ = 4,782969.
Среднее не обязано быть целым, хотя в каждом конкретном размещении число коробок целое. Так как карандашей всего семь, пустых коробок всегда не меньше трёх.
Две пустые коробки
Чтобы две фиксированные разные коробки остались пустыми, каждый карандаш должен попасть в одну из восьми остальных. Поэтому:
r = P(Ii = 1, Ij = 1) = (8/10)⁷ = 0,2097152.
Совместная вероятность не равна q². Следовательно, индикаторы пустоты разных коробок зависимы, а их ковариация равна r − q².
Здесь она отрицательна: зная, что одна коробка осталась пустой, мы знаем, что все карандаши распределились по остальным. Это уменьшает шансы другой коробки также остаться пустой.
Дисперсия суммы
У каждого индикатора дисперсия q(1 − q). Пар разных коробок C(10; 2) = 45, а в формуле дисперсии суммы каждая ковариация умножается на 2:
Var(X) = 10q(1 − q) + 90(r − q²).
Подставляя q = 0,9⁷ и r = 0,8⁷, получаем:
Var(X) = 10 · 0,9⁷ · (1 − 0,9⁷) + 90 · (0,8⁷ − 0,9¹⁴) ≈ 0,780544545.
Ответ положителен, несмотря на отрицательные ковариации. Они уменьшают суммарный разброс, но не делают дисперсию отрицательной.
Проверка через второй момент
Поскольку Ii² = Ii, разложение квадрата суммы даёт E(X²) = 10q + 90r. Вычтем [E(X)]² = 100q²:
Var(X) = 10q + 90r − 100q².
Это та же формула после раскрытия скобок. Если вместо неё взять 10q(1 − q), получится дисперсия суммы независимых индикаторов — другой, неверной для этой задачи модели.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 12.9 · CC BY 4.0. Адаптация; модель уточнена, расчёт дисперсии добавлен.