Нулевой результат может возникнуть по двум причинам: нужное действие вообще недоступно или действие доступно, но случайный счётчик всё равно равен нулю. Смешение этих случаев даёт пуассоновское распределение с раздутым нулём.
Условие
Исследователь Котиков отправляется на рынок за рыбой. С вероятностью π рыбу только показывают, а с вероятностью 1 − π продают. Если продают, количество купленной рыбы распределено по Пуассону с параметром λ. Пусть Y — количество рыбы, принесённое домой.
Найдите P(Y = 0), E(Y) и Var(Y). Считаем 0 ≤ π ≤ 1 и λ > 0. Формулы ответа приведены в сборнике; ниже развёрнут их вывод и добавлен численный пример.
Две причины вернуться без покупки
В первом состоянии продаж нет, и Y = 0 обязательно. Во втором состоянии покупки возможны, но пуассоновский счётчик принимает нулевое значение с вероятностью e−λ. По полной вероятности:
P(Y = 0) = π + (1 − π)e−λ.
Для целых k ≥ 1 первый случай уже невозможен, поэтому:
P(Y = k) = (1 − π)e−λλk/k!.
Нельзя принять вероятность нуля за π: это пропустило бы нулевые покупки в том состоянии, где рыбу продают.
Представление через индикатор
Пусть Z = 1, когда продажа доступна, и Z = 0 иначе. Тогда P(Z = 1) = 1 − π. Введём независимую от Z величину X с распределением Pois(λ). Получим представление:
Y = ZX.
При Z = 0 результат обнуляется, при Z = 1 остаётся пуассоновский счётчик. Поэтому:
E(Y) = E(Z)E(X) = (1 − π)λ.
Это среднее учитывает и дни без продажи, и дни с продажей. Условное среднее только при доступной продаже равно λ.
Дисперсия через второй момент
Так как Z² = Z и E(X²) = λ + λ², имеем:
E(Y²) = (1 − π)(λ + λ²).
Вычитая квадрат среднего, получаем форму, указанную в исходном ответе:
Var(Y) = (1 − π)(λ + λ²) − (1 − π)²λ².
Равносильная, более наглядная запись:
Var(Y) = (1 − π)λ + π(1 − π)λ².
Первое слагаемое соответствует среднему пуассоновскому разбросу, второе — дополнительной изменчивости между двумя состояниями рынка.
Численный пример
Редакционный пример: пусть π = 0,2 и λ = 3. Тогда:
P(Y = 0) = 0,2 + 0,8e−3 ≈ 0,2398297.
E(Y) = 0,8 · 3 = 2,4; Var(Y) = 2,4 + 0,2 · 0,8 · 9 = 3,84.
Вероятность нуля почти 24%, хотя продажа отсутствует только в 20% случаев. Дисперсия 3,84 больше среднего 2,4, в отличие от обычного распределения Пуассона, у которого эти характеристики совпадают.
Крайние случаи
При π = 0 дополнительного состояния нет, и Y становится обычной пуассоновской величиной. При π = 1 продаж нет никогда: Y = 0, а среднее и дисперсия равны нулю. При 0 < π < 1 и λ > 0 добавочный член дисперсии положителен.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 13.19 · CC BY 4.0. Адаптация; вывод развёрнут, пример добавлен.