Условие
U,V независимы и равномерны на [0,1]. Для S=U+V найдите P(S≤1/2), P(S≤3/2) и плотность.
Решение по шагам
Пара (U,V) равномерна в единичном квадрате. Область u+v≤1/2 — прямоугольный треугольник с катетами 1/2 и площадью 1/8. При пороге 3/2 исключён такой же треугольник в противоположном углу, поэтому вероятность 7/8.
Для 0≤s≤1 функция распределения s²/2, для 1≤s≤2 — 1−(2−s)²/2. Плотность равна s на (0,1) и 2−s на (1,2), вне этого интервала нулевая.
Проверка результата
Площадь под плотностью равна 1/2+1/2=1. Симметрия относительно s=1 согласуется с E(S)=1.
Типичная ошибка
Сумма равномерных величин не обязана быть равномерной. Значений около 1 достигают больше пар, чем значений около 0 или 2.
Что даёт этот метод
Геометрия совместного пространства даёт распределение суммы без запоминания формулы свёртки. Для независимости квадрат имеет постоянную плотность.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.