При вычислении плотности суммы основная трудность часто не в интеграле, а в его пределах. Нужно одновременно удовлетворить ограничениям на x и на второе слагаемое s − x.
f_{X+Y}(z)=∫f_X(x)f_Y(z−x)dx
Общая формула
Для независимых X и Y с плотностями сумма S = X + Y имеет плотность fS(s) = ∫ fX(x)fY(s − x) dx. Рассмотрим три случая исходной задачи. Первые два ответа даны в сборнике; третий и подробные выводы добавлены редакцией.
1. Две равномерные величины на [0; 1]
Обе плотности равны 1 внутри носителя. Ограничения 0 < x < 1 и 0 < s − x < 1 дают max(0, s − 1) < x < min(1, s). Интеграл равен длине этого пересечения:
fS(s) = s при 0 < s < 1;
fS(s) = 2 − s при 1 ≤ s < 2.
Вне [0; 2] плотность нулевая. Получается треугольный график. Интеграл равен 1, среднее — 1, как и сумма двух средних 1/2.
2. Экспоненциальные величины с интенсивностями 1 и 2
Теперь x > 0 и s − x > 0, поэтому при s > 0 интегрируем от 0 до s:
fS(s) = ∫₀ˢ e−x · 2e−2(s−x) dx = 2e−s − 2e−2s.
При s < 0 плотность нулевая. Хотя ответ содержит разность экспонент, он неотрицателен для s > 0. Нормировка: 2 · 1 − 2 · (1/2) = 1. Среднее равно 1 + 1/2 = 3/2.
3. Равномерная на [0; 1] и экспоненциальная с интенсивностью 1
Ограничения дают 0 < x < min(1, s). Поэтому:
fS(s) = ∫₀min(1,s) e−(s−x) dx.
Если 0 < s < 1, верхний предел s и ответ 1 − e−s. Если s ≥ 1, верхний предел 1 и ответ (e − 1)e−s. При s < 0 плотность нулевая.
Обе ветви совпадают в точке 1. Их интегралы равны соответственно e−1 и 1 − e−1, что в сумме даёт 1. Среднее S равно 1/2 + 1 = 3/2.
Типичные ошибки
Нельзя складывать плотности вместо свёртки: это описывало бы смесь, а не сумму величин. Также нельзя использовать один и тот же предел 0,…,s во всех трёх случаях: ограничение равномерного слагаемого сверху единицей меняет область интегрирования.
Смесь распределений: другой механизм · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 16.27 · CC BY 4.0. Адаптация; выводы и третий ответ дополнены.