Может ли плотность быть больше единицы: малые интервалы и предел на бесконечности

Плотность описывает вероятность через площадь под графиком. Высота графика в одной точке не обязана быть меньше единицы и сама по себе не определяет вероятность маленького, но конечного интервала.

Три связанных вопроса

Известно f(7) = 5: как оценить P(7 ≤ X ≤ 7,001)? Как записать вероятность короткого интервала через f(x) и малую величину Δ? Может ли плотность превышать 2015 и обязательно ли она стремится к нулю на бесконечности?

Локальное приближение и его предпосылка

Всегда верно P(x ≤ X ≤ x + Δ) = ∫_x^x+Δ f(t) dt для Δ > 0. Если плотность непрерывна справа в x, средняя высота на коротком интервале стремится к f(x). Поэтому:

P(x ≤ X ≤ x + Δ) = f(x)Δ + o(Δ), Δ → 0+.

При локально мало меняющейся плотности из f(7) = 5 получается приближение 5 · 0,001 = 0,005, указанное в источнике.

Но одного значения f(7) недостаточно для обоснования этого приближения или оценки его ошибки. Плотность можно изменить в отдельной точке, не изменив ни одной вероятности. Здесь предпосылка о локальном поведении добавлена явно; исходная запись без неё неполна.

Плотность выше 2015

Рассмотрим равномерную величину на [0; 1/3000]. Её плотность на этом отрезке равна 3000, а вне его — нулю. Интеграл равен 3000 · (1/3000) = 1. Это корректная плотность, хотя её высота больше 2015.

Ограничение «не больше 1» относится к вероятности события, а не к значению плотности. У непрерывной величины P(X = x) = 0 даже там, где плотность очень велика.

Предел на бесконечности

Если неотрицательная интегрируемая плотность имеет предел при x → ∞, этот предел должен быть нулём. Положительный предел означал бы, что плотность начиная с некоторого места ограничена снизу положительной константой, а интеграл бесконечен.

Однако предел может не существовать. Пример редакции:

f(x) = Σ_n=1^∞ 1_{[n, n+2⁻ⁿ]}(x).

Интервалы не пересекаются, сумма их длин равна 1, поэтому интеграл плотности равен 1. В точках x = n плотность равна 1, а между короткими интервалами — 0. Значит, единого предела нет.

Что следует запомнить

Нормировка — это интеграл, а не максимальная высота. Приближение вероятности прямоугольником требует контроля изменения плотности рядом с точкой. Существование конечного интеграла не исключает узких всплесков далеко от начала координат.

Вычисления с плотностью · Математика.

Б. Демешев и участники · probability_pro, 9.1, 9.2, 9.4 · CC BY 4.0. Задачи объединены; предпосылки и примеры дополнены.