Совместная плотность 4xy: вероятности, сумма и отношение координат

Произведение отдельных плотностей показывает независимость исходных координат. После перехода к сумме и отношению независимость может исчезнуть: новая область допустимых значений перестаёт быть прямоугольной.

Научная визуализацияСовместная плотность 4xy и доля R=X/(X+Y)

Совместная плотность факторизуется, а плотность R симметрична и достигает максимума 4 при r=1/2.

ƒf=4xy; fX=2x; fY=2y; fR(r)=r/(1−r)³ при r≤1/2, (1−r)/r³ при r≥1/2

Условие

Совместная плотность X и Y равна 4xy при 0 < x < 1, 0 < y < 1 и нулю вне единичного квадрата. Найдите вероятности, моменты и условные характеристики, функцию распределения, плотность S = X + Y и совместную плотность пары S, R = X/(X + Y).

Две связанные задачи источника объединены. В них решения не заполнены; ниже — редакционный вывод, включая два способа вычисления якобиана.

Отдельные распределения и независимость

Интегрирование даёт f_X(x) = 2x на (0; 1), f_Y(y) = 2y на (0; 1). Их произведение совпадает с совместной плотностью на произведении носителей, поэтому X и Y независимы.

Если g(t) = 0 при t < 0, g(t) = t² при 0 ≤ t ≤ 1 и g(t) = 1 при t > 1, то F(x, y) = g(x)g(y) на всей плоскости.

Пять вероятностей

P(X > 0,5) = 1 − 0,5² = 3/4. По независимости P(Y > 0,5 | X > 0,5) = 3/4.

Симметрия X и Y и нулевая вероятность равенства дают P(X ≤ Y) = 1/2. Событие X = Y + 0,2 лежит на прямой нулевой площади, поэтому при этой совместной плотности его вероятность равна 0.

Для суммы используем дополнение: интеграл 4xy по треугольнику x > 0, y > 0, x + y ≤ 0,5 равен 1/96. Следовательно, P(X + Y > 0,5) = 95/96.

Моменты и условные характеристики

E(X) = E(Y) = 2/3; E(X²) = E(Y²) = 1/2. Поэтому Var(X) = Var(Y) = 1/18. По независимости E(XY) = 4/9, Cov(X, Y) = 0 и Corr(X, Y) = 0.

Условное распределение Y при X не меняется, поэтому E(Y | X) = 2/3, E(Y² | X) = 1/2, Var(Y | X) = 1/18 почти наверное.

Совместная плотность X и суммы

При y = s − x якобиан равен 1. Значит:

f_X,S(x, s) = 4x(s − x), max(0, s − 1) < x < min(1, s).

За пределами этой области плотность нулевая. Границы интегрирования меняются в s = 1, потому что оба исходных слагаемых ограничены единицей.

Плотность суммы

Интегрируем предыдущую плотность по x:

f_S(s) = (2/3)s³ при 0 < s < 1;
f_S(s) = −(2/3)s³ + 4s − 8/3 при 1 ≤ s < 2.

Вне [0; 2] плотность нулевая. В точке 1 обе формулы дают 2/3, на правом краю плотность стремится к нулю. Проверки: полный интеграл равен 1, а E(S) = 4/3.

Сумма и доля через якобиан

Для R = X/S обратное преобразование равно x = rs, y = (1 − r)s. Абсолютный якобиан — s. Отсюда:

f_R,S(r, s) = 4r(1 − r)s³

при 0 < r < 1 и 0 < s < min{1/r, 1/(1 − r)}. В остальных точках плотность нулевая. При записи пары в порядке (S, R) меняется только порядок аргументов, не значение плотности.

Тот же коэффициент через дифференциальные формы

Из x = rs и y = (1 − r)s получаем dx = s dr + r ds и dy = −s dr + (1 − r)ds. Внешнее произведение равно dx ∧ dy = s dr ∧ ds. Поэтому элемент площади умножается на s — тот же модуль якобиана.

Нельзя отбросить ограничения носителя и считать R и S независимыми по одному виду множителей. Например, при s = 1,5 допустимы только доли 1/3 < r < 2/3, тогда как при s < 1 возможны все 0 < r < 1. Условный диапазон доли зависит от суммы.

Преобразования плотностей · Математика.

Б. Демешев и участники · probability_pro, 16.17, 16.23 · CC BY 4.0. Условия объединены; решение редакции.