X~χ²₁, Y~χ²₂: S=X+Y~χ²₃; R=X/(X+Y)~Beta(1/2,1); R ⟂ S
Условие
X и Y независимы, X∼χ²₁, Y∼χ²₂. Для R=X/(X+Y) и S=X+Y найдите совместную плотность, проверьте независимость, определите закон S и обоснуйте общий вид плотности χ² с d степенями свободы. В источнике решение не заполнено; далее — редакционный вывод.
Исходная совместная плотность
При x,y>0 плотность пары равна f(x,y)=exp[−(x+y)/2]/[2√(2πx)]. Вне положительного квадранта она равна нулю.
Обратная замена координат: x=rs, y=(1−r)s. Её абсолютный якобиан равен s, область — 0<r<1, s>0. Поэтому:
f(r,s)=√s·exp(−s/2)/[2√(2πr)].
Разложение на две плотности
Формула факторизуется как [1/(2√r)]·[√s·exp(−s/2)/√(2π)]. Первый множитель интегрируется в 1 по (0;1), второй — по (0;∞). Область тоже является произведением этих интервалов.
Следовательно, R∼Beta(1/2,1), S∼χ²₃, и R с S независимы. Одной формальной факторизации выражения недостаточно: ограничение носителя также было проверено.
Индукция для χ²-плотности
Для d=1 плотность уже известна из преобразования Z². Предположим формулу fd(s)=sd/2−1e−s/2/[2d/2Γ(d/2)]. Добавим независимый квадрат стандартной нормальной величины.
Свёртка содержит интеграл ∫₀ˢ xd/2−1(s−x)−1/2dx. Замена x=su превращает его в s(d+1)/2−1B(d/2,1/2). Тождество B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b) сокращает нормировочные множители и даёт ту же формулу с d+1 вместо d.
Проверка среднего доли
Дополнительно E(R)=1/3, E(S)=3. По независимости E(RS)=1, как и E(X). При этом само X и его сумма S не независимы: Cov(X,S)=Var(X)=2.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 3.7 · CC0 1.0. Условие источника; решение редакции.