ΣZᵢ²~χ²ₖ; Z₀/√(Q/k)~tₖ; Z₁/Z₂~Cauchy(0,1)
Условие и основные правила
В упражнении 3.8 все Xᵢ независимы и имеют N(0,1). Нужно определить законы перечисленных выражений. Упражнение 3.13 добавляет независимые X∼N(0,1), Q₁∼χ²₉, Q₂∼χ²₁₆. Связанные задания объединены в одну таблицу распознавания.
Используем определения: сумма k независимых стандартных нормальных квадратов имеет χ²ₖ; отношение Z/√(Q/k) при независимых Z∼N(0,1), Q∼χ²ₖ имеет tₖ.
Выражения из упражнения 3.8
| Выражение | Закон |
|---|---|
| X₁²+X₂²+X₃² | χ²₃ |
| X₁²+X₁₂²+X₁₀₀² | χ²₃ |
| (X₁−X₂)²/2 | χ²₁ |
| (X₁−X̄)²+(X₂−X̄)², где X̄=(X₁+X₂)/2 | χ²₁: выражение равно предыдущему |
| Σᵢ₌₁ⁿ(Xᵢ−X̄)² | χ²ₙ₋₁ |
| X₁₃² | χ²₁ |
| X₁/|X₂| | t₁, то есть стандартное распределение Коши |
| X₁/X₂ | То же стандартное распределение Коши |
| 2X₁/√(X₂²+X₃²+X₄²+X₅²) | t₄ |
Замена знаменателя |X₂| на X₂ не меняет распределение отношения: знак независимой симметричной нормальной величины не меняет закон симметричного числителя.
Неоднозначное многоточие в последнем пункте
В источнике последняя строка записана как 10X₁/√(X₂²+X₃²+…+X₄²+X₁₀₁²). Из такой записи нельзя однозначно установить набор слагаемых. Если задумана сумма всех квадратов от X₂ до X₁₀₁, их ровно сто и закон равен t₁₀₀. Если слагаемых другой набор, масштаб и число степеней свободы нужно пересчитать. Это трактовка, а не незаметное исправление исходной строки.
Упражнение 3.13
3X/√Q₁ ∼ t₉; X/√(Q₂/16) ∼ t₁₆; Q₁+Q₂ ∼ χ²₂₅; 5X/√(Q₁+Q₂) ∼ t₂₅.
В ответе источника у χ₂₅ пропущен квадрат; сумма χ²₉ и χ²₁₆ имеет именно χ²₂₅. Коэффициенты 3 и 5 — квадратные корни из 9 и 25. Без них отношения имели бы масштабированные, а не стандартные распределения Стьюдента.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 3.8, 3.13 · CC0 1.0. Задачи объединены; неоднозначность отмечена.