При равномерном выборе по площади плотность одной координаты пропорциональна длине соответствующего сечения фигуры. Если геометрия сечения меняется, формула плотности тоже становится кусочной.
f_X(x)∝длина вертикального сечения; f_Y(y)∝длина горизонтального
Условие
Точку равномерно выбирают внутри треугольника с вершинами (0; 0), (0; 2), (3; 3). X и Y — её абсцисса и ордината. Найдите их отдельные плотности. Решение исходной задачи не заполнено; далее — редакционный разбор.
Площадь треугольника равна 3, поэтому совместная плотность внутри фигуры равна 1/3. Наклонные стороны задаются прямыми y = x и y = 2 + x/3.
Вертикальное сечение и плотность X
Для 0 < x < 3 ордината меняется от x до 2 + x/3. Длина сечения равна 2 − 2x/3. Интегрируя совместную плотность по y, получаем:
fX(x) = 2/3 − 2x/9, 0 < x < 3.
Вне [0; 3] плотность нулевая. Она линейно убывает: возле левой стороны треугольника вертикальное сечение длиннее, чем возле правой вершины.
Горизонтальное сечение и плотность Y
При 0 < y < 2 горизонтальный отрезок идёт от x = 0 до x = y. Его длина равна y, поэтому fY(y) = y/3.
При 2 < y < 3 левая граница уже лежит на наклонной стороне x = 3y − 6, а правая — на x = y. Длина равна 6 − 2y, поэтому:
fY(y) = y/3 при 0 < y < 2;
fY(y) = 2 − 2y/3 при 2 < y < 3.
В остальных точках вне носителя плотность нулевая. Значения в отдельных граничных точках можно задавать произвольно; обе внутренние формулы в y = 2 совпадают и дают 2/3.
Проверки нормировки и центра
Интеграл fX по [0; 3] равен 1. Для Y площади двух треугольников под графиком равны 2/3 и 1/3, также в сумме 1.
Дополнительная проверка: интегрирование координат даёт E(X) = 1 и E(Y) = 5/3. Это совпадает с координатами центра масс: средними соответствующих координат трёх вершин.
Равномерность двумерной точки не делает координаты равномерными по своим диапазонам. Они также зависимы: допустимый диапазон Y меняется вместе с X.
Вероятность по площади треугольника · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 9.10 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.