Медиана координаты делит вероятность пополам, а математическое ожидание задаёт центр равновесия. Даже для простого треугольника эти две вертикальные линии проходят в разных местах.
E[X]=a/3; E[Y]=b/3 для вершин (0,0),(a,0),(0,b)
Условие
Точка равномерно по площади выбирается в треугольнике с вершинами (0; 0), (2; 0), (2; 1). X — её абсцисса. Найдите P(X > 1), P(0,5 ≤ X ≤ 1), медиану X и E(X). Сравните среднее с единицей.
Вероятность через площадь
Площадь всего треугольника равна 1. Для 0 ≤ x ≤ 2 часть левее прямой x имеет катеты x и x/2, поэтому её площадь равна x²/4. Следовательно:
FX(x) = x²/4 при 0 ≤ x ≤ 2.
Слева от нуля функция равна 0, справа от двойки — 1. Получаем P(X > 1) = 1 − 1/4 = 3/4 и P(0,5 ≤ X ≤ 1) = 1/4 − 1/16 = 3/16.
Линия, делящая площадь пополам
Медиана a удовлетворяет FX(a) = 1/2, то есть a²/4 = 1/2. Носитель неотрицателен, поэтому:
Med(X) = √2 ≈ 1,414214.
В словесном объяснении источника маленький треугольник ошибочно назван расположенным справа от линии. В этой геометрии он расположен слева; численный ответ √2 остаётся правильным.
Средняя координата
Центр масс однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Его абсцисса равна среднему абсцисс вершин:
E(X) = (0 + 2 + 2)/3 = 4/3 > 1.
Проверка интегралом: вертикальное сечение имеет высоту x/2, поэтому плотность X равна x/2 на (0; 2). Тогда E(X) = ∫₀² x · x/2 dx = 4/3.
Среднее и медиана выполняют разные задачи
Среднее 4/3 меньше медианы √2. Прямая x = 4/3 уравновешивает моменты площади относительно себя, а x = √2 делит саму площадь на две равные части. Подменять одно определение другим нельзя.
Равномерность точки по площади также не означает равномерности абсциссы на [0; 2]. Сечения справа длиннее, поэтому большие абсциссы встречаются чаще.
Симметричный треугольник: сравнение · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 4.3 · CC BY 4.0. Адаптация; геометрическое пояснение уточнено.