Med(X+Y) не обязана равняться Med(X)+Med(Y); преобразование медианы требует условий на функцию
Условие
Нужно привести примеры, когда медиана суммы равна сумме медиан и когда это равенство нарушается; когда Med(Xᵏ) = Med(X)ᵏ для всех рассматриваемых степеней и когда Med(X²) отличается от Med(X)².
Источник предлагает симметричные распределения, две независимые величины с плотностью 2 − 2x на [0; 1] и неотрицательные величины. Ниже эти идеи развёрнуты в проверяемые примеры. Область k в исходном условии не уточняется; в примере со степенями рассматриваются положительные целые k.
Сумма симметричных величин
Пусть X и Y независимы и равномерны на [−1; 1]. Их медианы равны нулю. Распределение суммы непрерывно и симметрично относительно нуля; его медиана тоже 0. Поэтому Med(X + Y) = Med(X) + Med(Y).
Несимметричный пример источника
Пусть теперь X и Y независимы и имеют плотность f(x) = 2 − 2x на [0; 1]. Функция распределения на этом отрезке равна 2x − x², поэтому медиана каждой величины m = 1 − 1/√2.
Для суммы S при 0 ≤ s ≤ 1 прямое интегрирование совместной плотности даёт FS(s) = 2s² − 4s³/3 + s⁴/6. В точке 2m значение равно (8√2 − 10)/3 ≈ 0,437903, а не 1/2.
Следовательно, Med(S) ≠ 2m. Численное решение уравнения FS(s) = 1/2 даёт приблизительно 0,642156, тогда как 2m ≈ 0,585786. Вычисления добавлены редакцией к примеру источника.
Степени неотрицательной величины
Возьмём X, равномерную на [0; 1]. При каждом положительном целом k функция xᵏ строго возрастает на носителе. Поэтому медиана преобразуется вместе с порядком: Med(Xᵏ) = (1/2)ᵏ = Med(X)ᵏ.
Квадрат величины обоих знаков
Для X, равномерной на [−1; 1], Med(X) = 0. Однако P(X² ≤ y) = √y при 0 ≤ y ≤ 1. Медиана X² удовлетворяет √y = 1/2, то есть Med(X²) = 1/4 ≠ 0.
Квадрат не сохраняет порядок на всей прямой. Поэтому правило для монотонного преобразования нельзя переносить на него без проверки носителя исходной величины.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.6 · CC0 1.0. Примеры источника конкретизированы; расчёты добавлены.