Случайно выбрать один поток на весь день — не то же самое, что объединить два потока. Выбранная утром интенсивность остаётся общей скрытой величиной для всех последующих временных интервалов.
Условие
В офисе два телефона. На красный поступает пуассоновский поток с интенсивностью 4 звонка в час, на зелёный — с интенсивностью 5. Перед началом дня Василиса подбрасывает монету и отключает один телефон: зелёный при решке, красный при орле.
Пусть Y — время до первого услышанного звонка. Найдите его плотность. Имеет ли процесс количества услышанных звонков независимые приращения?
Считаем монету симметричной, её результат независимым от звонков, а выбранный телефон неизменным в течение дня. В исходном сборнике решения нет; ниже — редакционный вывод.
Условное время ожидания
Обозначим интенсивность оставшегося телефона через Λ. Она принимает значения 4 и 5 с вероятностями по 1/2. При известной Λ время Y имеет экспоненциальное распределение:
P(Y > t | Λ) = e−Λt, t ≥ 0.
Без знания результата монеты нужно усреднить эти вероятности, а не сами параметры внутри экспоненты.
Плотность смеси
По формуле полной вероятности:
P(Y > t) = (1/2)e−4t + (1/2)e−5t.
Поэтому для t > 0 плотность равна:
fY(t) = 2e−4t + (5/2)e−5t.
При t < 0 плотность нулевая. Нормировка проверяется интегрированием: 2/4 + (5/2)/5 = 1. Функция распределения при t ≥ 0 равна 1 − (e−4t + e−5t)/2.
Среднее, добавленное для проверки модели, равно E(Y) = (1/2)(1/4) + (1/2)(1/5) = 9/40 часа = 13,5 минуты. Это не обратная величина средней интенсивности 4,5.
Приращения условно независимы
Пусть N₁ и N₂ — числа звонков на двух непересекающихся интервалах длительностью s и t часов. Если результат монеты известен, мы наблюдаем один обычный пуассоновский поток, поэтому его приращения независимы:
Cov(N₁, N₂ | Λ) = 0; E(N₁ | Λ) = Λs; E(N₂ | Λ) = Λt.
Но это утверждение относится к распределению после условия на Λ.
Безусловная зависимость
По формуле полной ковариации:
Cov(N₁, N₂) = E[Cov(N₁, N₂ | Λ)] + Cov(Λs, Λt) = st · Var(Λ).
Поскольку Λ равновероятно равна 4 или 5, её дисперсия равна 1/4. Значит:
Cov(N₁, N₂) = st/4 > 0 при s, t > 0.
Следовательно, безусловно приращения не независимы. Общая случайная интенсивность связывает интервалы: большое число ранних звонков делает более вероятным выбор зелёного телефона и меняет ожидание будущего количества звонков.
Что нельзя заменить средним параметром
Нельзя заменить смесь одним пуассоновским потоком с интенсивностью 4,5. Среднее число звонков за час при такой замене совпадёт, но распределение ожидания и зависимость между интервалами изменятся. Совпадение одного среднего не означает совпадения моделей.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 13.13 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; модель уточнена, решение редакции.