Условие
Uᵢ iid U(0,1), Zₙ=Σᵢ≤ₙcosUᵢ/(2n+1). Найдите предел и виды сходимости.
Решение по шагам
EcosU=∫₀¹cosu du=sin1. Усиленный закон больших чисел даёт n⁻¹ΣcosUᵢ→sin1 почти наверное. Множитель n/(2n+1)→1/2, поэтому Zₙ→sin1/2 почти наверное, по вероятности и по распределению.
Var(cosU)=1/2+sin2/4−sin²1. Квадратичная ошибка относительно sin1/2 равна [n Var(cosU)+sin²1/4]/(2n+1)²→0. Поэтому есть сходимость L²; неравенство Коши даёт также L¹. Ограниченность косинуса обеспечивает все используемые моменты.
Проверка результата
Смещение EZₙ−sin1/2=−sin1/[2(2n+1)], его квадрат входит в формулу ошибки. Предел около 0,420735.
Типичная ошибка
Терять множитель 2 в знаменателе или считать почти наверное сходимость автоматически достаточной для L² без оценки.
Что даёт этот метод
Для L² разложите ошибку на дисперсию и квадрат смещения.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: три предела по закону больших чисел
- ВШЭ, ПМИ: экзамен 28 марта 2025, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA10Q6. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.