Условие
Xᵢ независимы Bernoulli(1/2), Sₙ=ΣXᵢ, Wₙ=(Sₙ−n/2)/√(n/4). Найдите MGF Xᵢ,Sₙ,Wₙ и предел.
Решение по шагам
Для одного индикатора MX(t)=(1+eᵗ)/2. Независимость даёт MS(t)=[(1+eᵗ)/2]ⁿ. Центрирование и масштабирование приводят к MW(t)=e⁻ᵗ√ⁿ[(1+e²ᵗ/√ⁿ)/2]ⁿ=cosh(t/√n)ⁿ.
Логарифм ln MW=n ln cosh(t/√n). При фиксированном t разложение ln cosh z=z²/2+O(z⁴) даёт ln MW→t²/2, следовательно MW→exp(t²/2) — MGF стандартной нормали. Сходимость MGF в окрестности нуля обосновывает сходимость распределений Wₙ⇒N(0,1).
Проверка результата
MW(0)=1, первая производная в нуле 0, вторая 1: стандартизация проверена.
Типичная ошибка
Не учитывать центрирование в экспоненте или перемножать MGF зависимых величин.
Что даёт этот метод
Работайте с логарифмом произведения: он превращает предельный расчёт в сумму.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: три предела по закону больших чисел
- МГУ: майская контрольная по вероятности, полный разбор 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA4Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.