Условие
Xᵢ iid с μ и 0<σ²<∞. Найдите пределы (ΣXᵢ−nμ)/√n; стандартизованной суммы с σ; суммы с выборочным стандартным отклонением sₙ.
Решение по шагам
Центральная предельная теорема даёт √n(X̄ₙ−μ)⇒N(0,σ²). Деление на положительное σ приводит к N(0,1).
Выборочная дисперсия sₙ²=[ΣXᵢ²−nX̄ₙ²]/(n−1) сходится по вероятности к σ². По непрерывности квадратного корня sₙ→σ. Теорема Слуцкого позволяет заменить σ на sₙ: √n(X̄ₙ−μ)/sₙ⇒N(0,1). Это асимптотический вывод, не утверждение точного нормального распределения при любом n.
Проверка результата
Если исходные данные нормальны, последнее отношение имеет точное распределение Стьюдента с n−1 степенями свободы, которое само стремится к стандартной нормали.
Типичная ошибка
Применять ЦПТ к данным с бесконечной дисперсией без проверки дополнительных условий или подменять асимптотику точным законом.
Что даёт этот метод
Оценённый масштаб можно подставлять после доказательства его состоятельности.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: три предела по закону больших чисел
- ВШЭ, КНАД: декабрьская контрольная 2024, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA10Q2. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.