Условие
На плоскости нарисован треугольник ABC: A = (3, 5), B = (0, 0), C = (3, 0). Джейсон Стейтем из Дербишира подбрасывает правильную монетку. Если монетка выпадает орлом, то Джейсон выбирает точку X = (X1, X2) равномерно на отрезке AB. Если выпадает решка, он выбирает точку X равномерно внутри треугольника ABC.
Найдите E(X) и P(X1 > X2).
Решение источника
E(X | T) = (3/2, 5/2), E(X | H) = (2, 5/3), E(X) = 0,5 · (3/2, 5/2) + 0,5 · (2, 5/3);
P(X1 > X2 | T) = 0, P(X1 > X2) = 0,5 · P(X1 > X2 | H).
Здесь H — орёл, T — решка; итоговые числа в источнике не доведены до конца.
Редакционное объяснение
Исправление меток. По условию орёл (H) означает отрезок AB, а решка (T) — треугольник. Средняя точка отрезка AB — его середина (3/2, 5/2), средняя точка треугольника — центр масс ((3 + 0 + 3)/3, (5 + 0 + 0)/3) = (2, 5/3). Значит, правильно E(X | H) = (3/2, 5/2) и E(X | T) = (2, 5/3); в источнике метки переставлены. Так же и во второй строке: нулю равна вероятность P(X1 > X2 | H), а нетривиальна P(X1 > X2 | T). На итоговый ответ перестановка не влияет, потому что монетка правильная и оба случая входят с весом 1/2.
Ожидание. По формуле полного ожидания
E(X) = 1/2 · (3/2, 5/2) + 1/2 · (2, 5/3) = (7/4, 25/12) ≈ (1,75; 2,083).
Вероятность. На отрезке AB точки имеют вид (3t, 5t), где t от 0 до 1, и X2 = 5X1/3 ≥ X1, поэтому P(X1 > X2 | H) = 0. В треугольнике ABC (площадь 3 · 5/2 = 7,5) условие X1 > X2 задаёт часть под прямой y = x: треугольник с вершинами (0, 0), (3, 0), (3, 3) площади 4,5. Поэтому P(X1 > X2 | T) = 4,5/7,5 = 3/5 и
P(X1 > X2) = 1/2 · 0 + 1/2 · 3/5 = 3/10 = 0,3.
Проверка: моделирование миллиона бросков дало E(X) ≈ (1,748; 2,084) и долю точек с X1 > X2 около 0,299.
Типичная ошибка — брать «среднюю точку» треугольника как середину какой-нибудь стороны или как центр описанной окружности. Ожидание равномерной точки в треугольнике — именно центр масс, среднее арифметическое вершин.
Что не следует из ответа
Точка E(X) = (7/4, 25/12) — среднее положение, а не типичная точка: она лежит внутри треугольника, хотя при орле точка всегда находится на отрезке AB. Распределение X — смесь распределения на отрезке и распределения на площади, и плотности на плоскости у него нет.
Ответ 0,3 опирается на правильную монетку. При вероятности орла p получилось бы P(X1 > X2) = (1 − p) · 3/5.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача «Джейсон Стейтем и треугольник» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: условие сохранено, в решении источника исправлены метки орла и решки; недостающие вычисления средних и площадей, итоговые числа и моделирование добавлены редакцией.