Условие
На 100 карточках написаны числа от 1 до 100. Я случайным образом выбираю k из них и считаю сумму полученных чисел.
а) Не находя точных вероятностей, для каждого k определите, какая сумма более вероятна: чётная или нечётная.
б) Найдите для каждого k точные вероятности чётной и нечётной суммы.
Решение источника
Через симметрию. Заменим в колоде каждое чётное число на нечётное и наоборот: задача от этого не меняется. При нечётном k такая замена переводит наборы с чётной суммой в наборы с нечётной и обратно, поэтому обе чётности равновероятны.
При чётном k эта замена чётность не меняет, поэтому нужна «почти-симметрия». Разобьём карточки на пары (1, 2), (3, 4), …, (99, 100). В наименьшей паре, из которой взята ровно одна карточка, заменим её на соседку. Чётность суммы при этом меняется, так что наборы с чётной и нечётной суммой разбиваются на пары. Исключение составляют наборы, состоящие только из полных пар: их C(50, k/2). Каждая полная пара даёт нечётную сумму 4i − 1, поэтому у исключений сумма чётна при k = 4m и нечётна при k = 4m + 2. Отсюда при k = 4m вероятнее чётная сумма, при k = 4m + 2 — нечётная, и
P(чётная сумма) = 1/2 + C(50, 2m)/(2·C(100, k)) при k = 4m; P(чётная сумма) = 1/2 − C(50, 2m+1)/(2·C(100, k)) при k = 4m + 2.
Через производящую функцию. Будем отмечать нечётные карточки буквой d, чётные — буквой e. Все наборы кодируются произведением (1 + d)50(1 + e)50. Сумма чётна, когда степень d чётна. Подстановка d = −t, e = t даёт (1 − t2)50, и коэффициент при tk равен разности Nчёт − Nнечёт для наборов из k карточек. При нечётном k он равен нулю, при k = 2j он равен (−1)j·C(50, j).
Редакционное объяснение
Исправление знака. В конце второго решения источник пишет P(чётная) = 1/2 − (−1)j·C(50, j)/(2·C(100, 2j)). Из его же системы Nчёт + Nнечёт = C(100, 2j), Nчёт − Nнечёт = (−1)j·C(50, j) следует формула с плюсом:
P(сумма k = 2j карточек чётна) = 1/2 + (−1)j·C(50, j)/(2·C(100, 2j)); при нечётном k вероятность равна 1/2.
Именно эта формула согласуется с первым решением: при j = 2m поправка положительна, при j = 2m + 1 — отрицательна.
Проверка на числах.
- k = 2: пар с чётной суммой 2·C(50, 2) = 2450 (обе чётные или обе нечётные), с нечётной — 50·50 = 2500. P(чётная) = 2450/4950 = 49/99 ≈ 0,495. Формула: 1/2 − 50/(2·4950) = 49/99.
- k = 4: P(чётная) = 1601/3201 ≈ 0,500156, перевес у чётной суммы, как и предсказывает правило k = 4m.
- k = 100: берутся все карточки, сумма 5050 чётна, вероятность 1. Формула при j = 50 даёт 1/2 + 1/2 = 1.
- k = 98: сумма 98 карточек равна 5050 минус сумма двух невыбранных, поэтому её чётность совпадает с чётностью суммы двух карточек, и снова получается 49/99.
Все значения от k = 1 до k = 100 мы сверили с точным подсчётом через гипергеометрическое распределение числа нечётных карточек, а формулу дополнительно проверили полным перебором для колод из 6 и 8 карточек.
Полезная переформулировка: сумма чётна тогда и только тогда, когда среди выбранных чётное число нечётных карточек. Это число имеет гипергеометрическое распределение, симметричное относительно k/2, и вся задача сводится к вопросу, какая чётность выигрывает у этого распределения.
Что не следует из ответа
Перевес одной из чётностей при средних k ничтожен: уже при k = 4 он меньше 0,0002, а при k = 50 отклонение от 1/2 порядка 10−15. Заметным он бывает только при k, близких к 0 или к 100. Поэтому правило «при k = 4m чётная вероятнее» верно строго, но на практике при k около 50 суммы почти равновероятны.
Ответ опирается на равенство числа чётных и нечётных карточек. Если взять карточки от 1 до 99 (50 нечётных и 49 чётных), симметрия ломается даже при нечётном k: например, при k = 1 вероятность чётной суммы равна 49/99, а не 1/2.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача «Чётность суммы карточек» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: оба решения источника пересказаны кратко, исправлен знак в итоговой формуле второго решения, численные проверки и пределы применимости добавлены редакцией.