Условие
На телеграфный провод случайным образом, равномерно и независимо друг от друга, садятся n птичек. Число птичек очень велико. Маляр-электрик Степан Грибоедов красит белой краской отрезок провода от каждой птички до ближайшей к ней птички. В результате каждый участок провода оказывается либо непокрашенным, либо покрашенным один раз, либо покрашенным два раза.
Найдите среднюю долю провода, оставшуюся непокрашенной, долю, покрашенную один раз, и долю, покрашенную два раза.
Решение источника
Источник ссылается на разборы на сайтах cut-the-knot и Math.StackExchange и приводит числа 2/18, 5/18, 11/18 без вывода.
Редакционное объяснение
Рассмотрим промежуток длины G между соседними птичками A и B. Пусть L — промежуток слева от A, R — промежуток справа от B. Птичка A красит в сторону B, если её ближайшая соседка — B, то есть если G<L; тогда покрашен весь промежуток G. Аналогично B красит этот промежуток, если G<R. За пределы промежутка между соседями краска не выходит. Поэтому промежуток покрашен дважды, если G<L и G<R; один раз — если выполнено ровно одно из условий; не покрашен — если не выполнено ни одно.
При очень большом n соседние промежутки после масштабирования ведут себя как независимые экспоненциальные величины с параметром 1. Доли считаются по длине, поэтому каждый промежуток входит с весом G:
дважды: E[G·e−2G]/E[G]=∫0∞ g·e−3g dg=1/9=2/18;
один раз: E[G·2e−G(1−e−G)]=2·(1/4−1/9)=5/18;
не покрашено: 1−2/18−5/18=11/18.
Исправление. Вопрос перечисляет доли в порядке «непокрашенная, один раз, два раза», а источник даёт 2/18, 5/18, 11/18 — в обратном порядке. Непокрашенная часть самая большая: 11/18 не покрашено, 5/18 покрашено один раз, 2/18=1/9 покрашено дважды.
Контроль через среднюю кратность покраски: 0·11/18+1·5/18+2·2/18=1/2. Независимо от этого каждая птичка красит меньший из двух прилегающих к ней промежутков. Среднее минимума двух независимых экспоненциальных величин с параметром 1 равно 1/2, а на одну птичку приходится в среднем промежуток длины 1 — получаем ту же половину.
Важно различать доли по длине и по числу промежутков. По числу промежутков каждый из трёх исходов имеет вероятность 1/3: G с равными шансами оказывается наименьшим, средним или наибольшим из L, G, R. Но короткие промежутки чаще красятся дважды, а длинные остаются непокрашенными, поэтому по длине получаются 2/18, 5/18 и 11/18.
Моделирование при n=2000 птичек дало 0,6115, 0,2768 и 0,1117 на участке между крайними птичками.
Что не следует из ответа
Это предельный ответ при n→∞. При небольшом числе птичек доли заметно другие: при n=10 моделирование дало около 0,48, 0,38 и 0,14 на участке между крайними птичками. Кроме того, отрезки провода до первой и после последней птички никогда не красятся, но их суммарная средняя длина 2/(n+1) исчезает при больших n.
Доли 11/18, 5/18 и 1/9 — средние значения. При конечном n в конкретной расстановке птичек доли случайны и колеблются вокруг них.
Борис Демешев и участники · probability_dna, задача «Птички на проводе» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: добавлен вывод; порядок ответов источника (2/18, 5/18, 11/18) исправлен на соответствующий вопросу: 11/18, 5/18, 2/18; добавлены контроль и моделирование.