Перечень вопросов
- Что такое вероятностное пространство?
- Какие аксиомы выполняет вероятность?
- Когда работает классическая формула и как считать исходы?
- Как найти вероятность объединения?
- Что такое условная вероятность?
- Как определить независимость событий и величин?
- Как устроена формула полной вероятности?
- Как применять формулу Байеса?
- Что такое случайная величина?
- Какие свойства имеет функция распределения?
- Чем различаются дискретное и абсолютно непрерывное распределения?
- Как вычислить математическое ожидание?
- Что показывает дисперсия?
- Как связаны ковариация, корреляция и независимость?
- Как получить маргинальное и условное распределения?
- Как найти распределение функции случайной величины?
- Каковы распределения Бернулли и биномиальное?
- Что означает геометрическое распределение?
- Когда используют распределение Пуассона?
- Что означает экспоненциальное распределение?
- Как стандартизировать нормальную величину?
- Чем гипергеометрическое распределение отличается от биномиального?
- Как решать задачи с индикаторами?
- Что дают неравенства Маркова и Чебышёва?
- Как сформулировать закон больших чисел?
- Что утверждает центральная предельная теорема?
- Какие виды сходимости случайных величин различают?
- Для чего нужна характеристическая функция?
- Как найти стационарное распределение цепи Маркова?
- Как определить стандартный винеровский процесс?
Ответы к экзамену
1. Что такое вероятностное пространство?
Вероятностная модель задаётся тройкой (Ω,ℱ,P). Ω — множество исходов; ℱ — σ-алгебра событий, содержащая Ω и замкнутая относительно дополнения и счётных объединений; P — вероятность. Указать только Ω недостаточно: нужно объяснить, каким событиям приписывается вероятность и по какому правилу. Для кубика можно взять Ω={1,…,6}, все подмножества и равные вероятности исходов.
2. Какие аксиомы выполняет вероятность?
Вероятность неотрицательна, P(Ω)=1, а для счётной последовательности попарно несовместных событий P(∪Aᵢ)=ΣP(Aᵢ). Отсюда P(∅)=0, P(Aᶜ)=1−P(A), а при A⊆B имеем P(A)≤P(B). Частота в наблюдениях — случайная оценка вероятности, а не сама аксиоматическая вероятность. Аддитивность суммы без поправки требует несовместности событий.
3. Когда работает классическая формула и как считать исходы?
В конечной модели с N равновероятными исходами P(A)=число благоприятных исходов/N. Для выборки k различных объектов из n без учёта порядка число исходов C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]; с порядком — n!/(n−k)!. Если объекты могут повторяться и порядок важен, получаем nᵏ. Сначала определите механизм выборки, затем выбирайте формулу подсчёта.
4. Как найти вероятность объединения?
Для двух событий P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Пересечение вычитается, потому что его исходы посчитаны дважды. Для трёх событий надо вычесть три парных пересечения и добавить тройное. Вероятность «хотя бы одного» часто проще найти как 1−P(ни одного). Несовместность и независимость — разные свойства: в первом случае пересечение пусто, во втором его вероятность равна произведению.
5. Что такое условная вероятность?
При P(B)>0 условная вероятность равна P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Это новая вероятность после ограничения модели наблюдаемым событием B. Формула умножения: P(A∩B)=P(B)P(A|B). Для непрерывной величины событие X=x обычно имеет вероятность ноль; условное распределение при X=x задают через плотности или регулярные условные распределения, а не делением 0/0.
6. Как определить независимость событий и величин?
События независимы, если P(A∩B)=P(A)P(B). Для нескольких событий взаимная независимость требует такого равенства для каждого подсемейства; попарной независимости недостаточно. Величины X,Y независимы, если события {X∈A} и {Y∈B} независимы для всех борелевских A,B. Для совместной плотности это соответствует разложению fₓᵧ(x,y)=fₓ(x)fᵧ(y) почти всюду.
7. Как устроена формула полной вероятности?
Пусть H₁,H₂,… образуют разбиение пространства и P(Hᵢ)>0. Тогда P(A)=ΣP(Hᵢ)P(A|Hᵢ). Каждый исход относится к одному Hᵢ, поэтому события A∩Hᵢ несовместны и их вероятности складываются. Формула полезна при смешении разных групп или механизмов. Простой средний двух условных вероятностей допустим только при одинаковых весах групп.
8. Как применять формулу Байеса?
P(Hᵢ|A)=P(Hᵢ)P(A|Hᵢ)/ΣⱼP(Hⱼ)P(A|Hⱼ), если P(A)>0. Она переводит вероятность наблюдения при гипотезе в вероятность гипотезы после наблюдения. Нужны и исходные доли гипотез, и характеристики наблюдения. Ошибка — приравнять P(H|A) к P(A|H). Даже точный детектор может давать много ложных срабатываний, когда искомое событие редко.
9. Что такое случайная величина?
Случайная величина — измеримое отображение X:Ω→ℝ: для каждого x событие {X≤x} должно принадлежать ℱ. Она превращает исход эксперимента в число. Два разных отображения могут иметь одинаковое распределение. Распределение описывает вероятности значений, но само по себе не задаёт совместную связь X с другими величинами на том же пространстве.
10. Какие свойства имеет функция распределения?
Fₓ(x)=P(X≤x) не убывает, непрерывна справа и имеет пределы 0 при x→−∞ и 1 при x→+∞. Вероятность атома равна скачку: P(X=x)=Fₓ(x)−Fₓ(x−). Для a<b имеем P(a<X≤b)=Fₓ(b)−Fₓ(a). При наличии атомов выбор строгого или нестрогого знака на границе меняет ответ.
11. Чем различаются дискретное и абсолютно непрерывное распределения?
Дискретное распределение задают массами pᵢ=P(X=xᵢ), сумма которых равна 1. Абсолютно непрерывное имеет плотность f≥0 с интегралом 1; вероятность интервала равна интегралу плотности. Значение плотности в точке не является вероятностью и может превышать 1. Есть также смешанные и сингулярные распределения, поэтому отсутствие атомов само по себе не гарантирует существования плотности.
12. Как вычислить математическое ожидание?
Для интегрируемой X ожидание равно Σxᵢpᵢ в дискретном случае или ∫xf(x)dx при наличии плотности. Интегрируемость означает E|X|<∞. Для функции g можно считать E[g(X)] непосредственно как Σg(xᵢ)pᵢ или ∫g(x)f(x)dx. Линейность E(aX+bY)=aEX+bEY не требует независимости. В общем случае E[g(X)] не равно g(EX).
13. Что показывает дисперсия?
При конечном втором моменте Var(X)=E[(X−EX)²]=E(X²)−(EX)². Она неотрицательна и равна нулю ровно тогда, когда X постоянна почти наверное. Var(aX+b)=a²Var(X); прибавление константы не меняет разброс. Стандартное отклонение — √Var(X). Нельзя записывать Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y), не проверив ковариацию.
14. Как связаны ковариация, корреляция и независимость?
Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)], Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y). При положительных конечных дисперсиях Corr=Cov/(σₓσᵧ), и её модуль не превосходит 1. Независимость влечёт нулевую ковариацию, но обратное неверно. Если X равновероятно принимает −1,0,1, а Y=X², ковариация нулевая по симметрии, хотя Y полностью определяется X.
15. Как получить маргинальное и условное распределения?
Из совместной дискретной таблицы pᵢⱼ получаем P(X=xᵢ)=Σⱼpᵢⱼ. При плотности fₓᵧ интегрируем по ненужной переменной: fₓ(x)=∫fₓᵧ(x,y)dy. Если fₓ(x)>0, то fᵧ|ₓ(y|x)=fₓᵧ(x,y)/fₓ(x). В пределах интегрирования надо учитывать область, где совместная плотность ненулевая; произвольный прямоугольник вместо этой области может дать неверную нормировку.
16. Как найти распределение функции случайной величины?
Надёжный путь — Fᵧ(y)=P(g(X)≤y). Если g строго монотонна и дифференцируема с подходящей обратной функцией, плотность преобразуют с модулем производной обратного отображения. Для Y=X² обычно надо учитывать оба корня ±√y; формула с одним корнем подходит лишь при ограничении X одной полуосью. Границы носителя определяют до дифференцирования.
17. Каковы распределения Бернулли и биномиальное?
Бернулли(p) принимает 1 с вероятностью p и 0 иначе: EX=p, Var(X)=p(1−p). Сумма n независимых одинаковых индикаторов имеет Bin(n,p): P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, EX=np, Var(X)=np(1−p). При n=10,p=0,3 среднее 3, дисперсия 2,1. Разные вероятности испытаний или зависимость нарушают биномиальную модель.
18. Что означает геометрическое распределение?
Пусть N — номер первого успеха в независимых испытаниях с 0<p≤1. Тогда P(N=k)=(1−p)ᵏ⁻¹p для k≥1, EN=1/p, Var(N)=(1−p)/p². Если считают число неудач до успеха, поддержка начинается с 0 и среднее равно (1−p)/p. Укажите соглашение явно. Свойство отсутствия памяти выражается через вероятности хвоста.
19. Когда используют распределение Пуассона?
Для X~Pois(λ), λ>0, P(X=k)=e⁻λ λᵏ/k!, k≥0, EX=Var(X)=λ. Оно возникает как предел Bin(n,pₙ), если npₙ→λ и pₙ→0. Для конечной выборки это приближение, а не точное равенство. Сумма независимых пуассоновских величин тоже пуассоновская с суммой параметров. Равенство среднего и дисперсии — свойство модели, а не любых счётных данных.
20. Что означает экспоненциальное распределение?
При параметре интенсивности λ>0 плотность f(t)=λe⁻λᵗ для t≥0, функция распределения 1−e⁻λᵗ, ET=1/λ, Var(T)=1/λ². Отсутствие памяти: P(T>s+t|T>s)=P(T>t). Параметр масштаба θ=1/λ даёт другую запись; их нельзя путать. Модель описывает ожидание первого события в однородном пуассоновском процессе.
21. Как стандартизировать нормальную величину?
Если X~N(μ,σ²), σ>0, то Z=(X−μ)/σ~N(0,1). Поэтому P(a≤X≤b)=Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ). Плотность равна exp(−(x−μ)²/(2σ²))/(σ√(2π)). Независимые нормальные величины имеют нормальную линейную комбинацию. В совместно нормальном векторе нулевая ковариация означает независимость; без совместной нормальности такого вывода нет.
22. Чем гипергеометрическое распределение отличается от биномиального?
При выборе n объектов без возвращения из N, среди которых K нужного типа, число выбранных нужных объектов имеет P(X=k)=C(K,k)C(N−K,n−k)/C(N,n). Среднее nK/N, дисперсия n(K/N)(1−K/N)(N−n)/(N−1) при N>1. Множитель конечной совокупности уменьшает разброс. Биномиальная модель соответствует независимым выборам с возвращением, а не произвольной выборке без него.
23. Как решать задачи с индикаторами?
Для события A индикатор Iₐ равен 1 при A и 0 иначе, поэтому EIₐ=P(A). Если X считает объекты с нужным свойством, запишите X=ΣIᵢ и получите EX=ΣP(Aᵢ), даже при зависимых индикаторах. Например, ожидаемое число неподвижных элементов случайной перестановки из n объектов равно n·(1/n)=1. Для дисперсии зависимость уже нужно учитывать.
24. Что дают неравенства Маркова и Чебышёва?
Для X≥0 и a>0: P(X≥a)≤EX/a. Для конечной дисперсии P(|X−EX|≥a)≤Var(X)/a². Чебышёв получается из Маркова для квадрата отклонения. Это верхние оценки, часто неточные; значение больше 1 заменяют тривиальной границей 1. Нельзя применять Маркова к знакопеременной величине без перехода к модулю или положительной части.
25. Как сформулировать закон больших чисел?
Для iid величин с конечной дисперсией выборочное среднее X̄ₙ сходится по вероятности к μ=EX. Достаточное доказательство: Var(X̄ₙ)=σ²/n и Чебышёв даёт P(|X̄ₙ−μ|≥ε)≤σ²/(nε²)→0. Конечная дисперсия достаточна для этого доказательства, но не необходима для всех версий закона. Закон говорит о вероятности отклонения при росте n, а не о точном равенстве среднего μ в конечной выборке.
26. Что утверждает центральная предельная теорема?
Для iid Xᵢ с EXᵢ=μ и 0<Var(Xᵢ)=σ²<∞ величина √n(X̄ₙ−μ)/σ сходится по распределению к N(0,1). Приближение среднего: X̄ₙ≈N(μ,σ²/n). Теорема описывает форму нормированного отклонения; закон больших чисел — исчезновение ненормированного отклонения. Нормальность самих Xᵢ не требуется. Для тяжёлых хвостов с бесконечной дисперсией эта версия неприменима.
27. Какие виды сходимости случайных величин различают?
Сходимость почти наверное означает поточечную сходимость вне события вероятности ноль. По вероятности: P(|Xₙ−X|>ε)→0 для каждого ε>0. В L²: E|Xₙ−X|²→0. По распределению: Fₙ(x)→F(x) в точках непрерывности F. Почти наверное и L² влекут сходимость по вероятности, а та — по распределению. Обратные утверждения в общем случае неверны; сходимость по распределению к константе влечёт сходимость по вероятности.
28. Для чего нужна характеристическая функция?
φₓ(t)=E(eⁱᵗˣ) существует для любой действительной случайной величины, поскольку модуль экспоненты равен 1. Она однозначно определяет распределение. Для независимых X,Y имеем φₓ₊ᵧ=φₓφᵧ. Если φₙ(t) сходятся к функции, непрерывной в нуле и равной там 1, теорема непрерывности связывает это с предельным распределением. Производные дают моменты лишь при соответствующих условиях их существования.
29. Как найти стационарное распределение цепи Маркова?
Для однородной конечной цепи переходная матрица P имеет неотрицательные элементы и суммы строк 1. Распределения строкой обновляются как πₜ₊₁=πₜP. Стационарная π решает πP=π, Σπᵢ=1. Для P=((0,8;0,2),(0,3;0,7)) получаем π=(0,6;0,4). Сходимость из любого старта требует дополнительных свойств: для конечной неприводимой апериодической цепи она есть. Стационарность уравнения не является сама по себе доказательством сходимости.
30. Как определить стандартный винеровский процесс?
W₀=0, траектории непрерывны почти наверное, приращения на непересекающихся интервалах независимы, Wₜ−Wₛ~N(0,t−s) при t≥s. Поэтому EWₜ=0, Var(Wₜ)=t и Cov(Wₛ,Wₜ)=min(s,t). Процесс не стационарен по уровням: дисперсия растёт. Его приращения стационарны. Запись dWₜ/dt как обычной производной некорректна: типичные траектории нигде не дифференцируемы.
Разобранный пример и проверка
Система контроля качества проверяет изделия. Доля дефектных — 2%; сигнал возникает у 90% дефектных и у 5% исправных. Обозначим D — дефект, S — сигнал. P(S)=0,02·0,9+0,98·0,05=0,067. По Байесу P(D|S)=0,018/0,067=18/67≈0,2687. Вероятность дефекта после сигнала около 26,9%, хотя чувствительность системы 90%.
Проверка на 10 000 условных изделий: 200 дефектных дают 180 сигналов, 9800 исправных — 490. Всего 670 сигналов, из них 180 истинных: 180/670=18/67. Расчёт проверен точными дробями. Это пример учебной модели, а не характеристики реального детектора.
Как готовить устный ответ
Сначала сформулируйте определение и условия результата. Затем объясните, зачем он нужен, приведите короткий пример и назовите типичную ошибку. Формулу проверяйте на простом или граничном случае. У преподавателя может быть другой перечень тем; сопоставьте его с оглавлением этой страницы.
Источники тематического охвата
Перечень вопросов и все ответы составлены редакцией damirock.com. Официальные программы ниже использованы для сверки тем, а не как источник готовых ответов. Проверка источников: 8 октября 2026 года. НИУ ВШЭ: «Теория вероятностей», программа 2024/2025; НИУ ВШЭ: «Теория вероятностей и математическая статистика».
Проверить понимание на задачах
Выберите разбор по теме: условие, ход решения, проверка и типичная ошибка приведены отдельно.