Условие
Цех A выпускает 60% деталей, цех B — 40%. Доля брака внутри A равна 1%, внутри B — 3%. Среди всех деталей случайно выбрана бракованная. Какова вероятность, что она из B?
Решение по шагам
Вероятность одновременно выбрать деталь из B и получить брак равна 0,4·0,03=0,012. Полная вероятность брака равна 0,6·0,01+0,4·0,03=0,018. Поэтому P(B|брак)=0,012/0,018=2/3.
До наблюдения брака шанс происхождения из B составлял 40%. После наблюдения он выше, поскольку в B брак встречается в три раза чаще. Производственные доли остаются частью расчёта.
Проверка результата
На условных 10000 деталях ожидаются 6000 из A и 4000 из B, включая 60 и 120 бракованных. Среди 180 бракованных доля B равна 120/180=2/3.
Типичная ошибка
Делить 3% на сумму 1%+3% нельзя: это игнорирует разные объёмы выпуска цехов. Такой расчёт подошёл бы только при равных априорных долях.
Что даёт этот метод
Байес переводит вероятность наблюдения при гипотезе в вероятность гипотезы при наблюдении. Таблица абсолютных ожидаемых частот часто делает знаменатель наглядным.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.