Условие
Из четырёх тузов разных мастей наугад выбирают два. Найдите вероятность того, что тузы окажутся разного цвета.
Решение источника
Нарисуем дерево. Первый туз может быть любым: его цвет ничего не меняет. После того как он вынут, среди трёх оставшихся тузов двое другого цвета, поэтому
P(тузы разного цвета) = 1 · 2/3 = 2/3.
Редакционное объяснение
Среди четырёх тузов два красных (черви и бубны) и два чёрных (пики и трефы). Ключевое слово «наугад» означает, что все пары тузов равновероятны. Пар всего C(4, 2) = 6. Одноцветных пар ровно две: «пики + трефы» и «черви + бубны». Остальные четыре пары разноцветные, поэтому вероятность равна 4/6 = 2/3. Это совпадает с ответом по дереву.
Можно считать и упорядоченные пары: первый туз выбирается 4 способами, второй — 3, всего 12 вариантов, из них разноцветных 4 · 2 = 8. Снова 8/12 = 2/3. Порядок извлечения на ответ не влияет, важно только считать одинаково числитель и знаменатель.
Проверка: вероятность одноцветной пары равна 2/6 = 1/3, а вместе с разноцветными получается 1.
Типичные ошибки:
- Рассуждение «цвета либо совпадают, либо нет, значит 1/2». Эти два исхода не равновероятны: после первого туза в остатке тузов другого цвета больше, чем того же.
- Три исхода «оба красные», «оба чёрные», «разные» считают равновероятными и получают 1/3. На самом деле их вероятности равны 1/6, 1/6 и 2/3.
Что не следует из ответа
Ответ 2/3 опирается на выбор без возвращения. Если первого туза вернуть и снова тянуть из четырёх, вероятность разного цвета станет ровно 1/2.
Ответ не переносится на две карты из полной колоды. В колоде из 52 карт по 26 карт каждого цвета, и вероятность разного цвета равна 26 · 26 / C(52, 2) = 26/51 ≈ 0,51; в колоде из 36 карт — 18/35 ≈ 0,514. Чем больше карт каждого цвета, тем слабее эффект «без возвращения» и тем ближе ответ к 1/2.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача «Два туза разного цвета» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: условие и решение источника пересказаны, подсчёт пар, сравнение с выбором с возвращением и с полной колодой добавлены редакцией.