Условие
Пять различных шаров независимо распределяют по трём ящикам; каждый шар выбирает ящик равновероятно. Найдите среднее число непустых ящиков.
Решение по шагам
Для каждого ящика введём индикатор Iᵢ, равный 1, если он непуст. Вероятность, что конкретный ящик остаётся пуст, равна (2/3)⁵. Значит E(Iᵢ)=1−(2/3)⁵.
Число занятых ящиков K=I₁+I₂+I₃. По линейности E(K)=3[1−(2/3)⁵]=211/81≈2,60494. Индикаторы зависимы, но линейность ожидания не требует их независимости.
Проверка результата
Перебор 3⁵=243 равновозможных размещений и усреднение числа разных ящиков дают 211/81. Ответ лежит между 1 и 3.
Типичная ошибка
Предположение о независимости занятости ящиков неверно. Оно не нужно для среднего, но было бы существенным при вычислении дисперсии.
Что даёт этот метод
Индикаторы помогают считать ожидаемое число объектов с нужным свойством, не находя полное распределение их количества.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.