Условие
Случайная величина X равновероятно принимает значения 1, 2 и 3. Найдите
P(E(P(P(X=7)=0))=1) и E(E(E(P(P(X=1)=1)))).
Решение источника
Навешивание ожидания E не изменяет константу, поэтому первое выражение равно 1, а второе — 0.
Редакционное объяснение
Такие выражения читают изнутри наружу и на каждом шаге спрашивают себя: получилось число, событие или случайная величина?
Первое выражение.
- P(X=7) — это число. Величина X никогда не равна 7, поэтому P(X=7) = 0.
- Запись «P(X=7)=0» — утверждение о числах, оно верно при любом исходе эксперимента. Как событие это всё пространство исходов Ω, поэтому P(P(X=7)=0) = P(Ω) = 1.
- E(1) = 1: ожидание константы равно самой константе.
- Событие «1 = 1» снова достоверное, и P(E(P(P(X=7)=0))=1) = 1.
Второе выражение.
- P(X=1) = 1/3 — число.
- Утверждение «1/3 = 1» ложно при любом исходе, то есть это пустое событие ∅, и P(P(X=1)=1) = 0.
- Дальше трижды берём ожидание константы: E(0) = 0, E(E(0)) = 0, E(E(E(0))) = 0.
Главная идея: событие {X = 1} случайно, а вероятность P(X = 1) — уже не случайная величина, а число. Любое равенство, в котором участвуют только числа, задаёт либо достоверное событие, либо невозможное, поэтому его вероятность равна 1 или 0.
Типичная ошибка — увидеть ноль в записи «P(X=7)=0» и решить, что вероятность всей конструкции тоже ноль. Ноль здесь — значение, с которым сравнивают, а само сравнение истинно.
Что не следует из ответа
Это не значит, что вложенные ожидания всегда «схлопываются» тривиально. Условное ожидание E(X | Y) — случайная величина, и для него работает уже другое правило: E(E(X | Y)) = E(X). Обычное ожидание E(X) — число, поэтому повторное E его не меняет.
Второй ответ зависит от распределения X. Если бы X всегда равнялась 1, то P(X=1) = 1, равенство «1 = 1» было бы верным и второе выражение равнялось бы 1. Ответ 0 получается именно потому, что P(X=1) = 1/3 ≠ 1.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача «Вложенные вероятности и ожидания» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: условие и ответ источника сохранены, пошаговый разбор изнутри наружу и предостережения добавлены редакцией.