Условие
Какое событие независимо от самого себя?
Решение источника
Из условия P(A ∩ A) = P(A) · P(A) следует, что P(A) = 0 или P(A) = 1.
Редакционное объяснение
По определению события A и B независимы, если P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Подставим B = A. Так как A ∩ A = A, условие превращается в уравнение p = p2 для p = P(A), то есть p(1 − p) = 0. Значит, p = 0 или p = 1.
Обратное тоже верно. Если P(A) = 0, то P(A ∩ B) ≤ P(A) = 0 для любого B, и равенство P(A ∩ B) = 0 = P(A) · P(B) выполнено. Если P(A) = 1, то P(Ac) = 0, поэтому P(A ∩ B) = P(B) − P(Ac ∩ B) = P(B) = P(A) · P(B). Итак, события с вероятностью 0 или 1 независимы не только от себя, но и от любого другого события.
Ответ: событие независимо от самого себя тогда и только тогда, когда его вероятность равна 0 или 1.
Интуиция: независимость означает, что знание об одном событии ничего не говорит о другом. Знание о том, произошло ли A, полностью определяет, произошло ли A, — значит, такое знание бесполезно, только если ответ был известен заранее.
Что не следует из ответа
Не следует, что такими событиями бывают только невозможное ∅ и достоверное Ω. Если X равномерно распределена на [0, 1], то событие {X = 1/2} не пустое, но его вероятность 0; событие {X ≠ 1/2} не совпадает с Ω, но имеет вероятность 1. Оба этих события независимы от самих себя.
Не следует и обратная путаница: независимость от себя не имеет отношения к несовместности. Событие с вероятностью 1 совместно с любым событием положительной вероятности, но при этом независимо от всех.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача «Событие, независимое от себя» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: условие и решение источника сохранены, обратное утверждение, примеры и обсуждение добавлены редакцией.