Условие
В конвертах суммы S и 2S; конверт выбирается равновероятно. После наблюдения x стоит ли обмениваться? Рассмотрите отсутствие модели S, затем S с экспоненциальной плотностью e⁻ˢ и дискретную модель S=3ᴺ, P(N=n)=2⁻ⁿ.
Решение по шагам
До открытия равны шансы выбрать меньший или больший конверт. После наблюдения x вероятности зависят от распределения S. Без него условное ожидание второй суммы не определено.
При S~Exp(1) плотность наблюдения x из меньшего конверта пропорциональна e⁻ˣ, из большего — (1/2)e⁻ˣ/², где 1/2 — якобиан. Поэтому pменьш = 2/(2 + eˣ/²). Ожидаемая другая сумма x/2 + (3x/2)pменьш. Обмен выгоден при pменьш > 1/3, то есть x < 4 ln 2.
Для S=3ᴺ при x=3 конверт заведомо меньший. При x=3ᵐ, m≥2, он меньший с вероятностью 1/3, больший — 2/3. Ожидание второй суммы (1/3)3x + (2/3)x/3 = 11x/9 > x. Здесь обе безусловные средние бесконечны: вывод о положительной конечной средней прибыли из обмена был бы некорректен.
Проверка результата
Суммарная плотность наблюдения нормируется; якобиан обязателен. В дискретной модели сравниваются веса 2⁻ᵐ и 2⁻⁽ᵐ⁻¹⁾, а не равные вероятности.
Типичная ошибка
Подставлять x/2 и 2x с вероятностями 1/2 после того, как x уже известно.
Что даёт этот метод
Различайте безусловный выбор конверта и условное распределение после наблюдения.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: распознавание характеристических функций и смесей
- ВШЭ, ПМИ: контрольная «Альфа» 2024, все шесть задач
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев и участники, probability_dna, L1737. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC BY 4.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.