Условие
X₁,…,X₆₄ независимы, одинаково распределены, имеют среднее 10 и дисперсию 16. Оцените P(9≤X̄≤11) нормальным приближением. Является ли результат точным?
Решение по шагам
Среднее X̄ имеет E(X̄)=10 и Var(X̄)=16/64=1/4, стандартное отклонение 1/2. После стандартизации границы 9 и 11 переходят в −2 и 2. Нормальное приближение даёт Φ(2)−Φ(−2)≈0,9545.
Это приближение, если исходные величины не нормальны. ЦПТ описывает предел при росте n; само число 64 не гарантирует малую ошибку для любого распределения с конечной дисперсией.
Проверка результата
Вычисление вероятности для стандартной нормальной величины через функцию ошибок даёт около 0,9544997. При нормальных исходных X ответ становится точным.
Типичная ошибка
Стандартное отклонение среднего равно σ/√n, а не σ/n. Нельзя выдавать асимптотическое приближение за точную вероятность без дополнительных предпосылок.
Что даёт этот метод
При оценке качества приближения учитывают форму распределения и хвосты. При наличии третьего абсолютного момента можно применять количественные оценки ЦПТ.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.