Variance суммы зависимых индикаторов: три события с p=1/2 и cov=0,05

Научная визуализация Variance суммы зависимых индикаторов: три события с p=1/2 и cov=0,05

Variance суммы зависимых индикаторов: три события с p=1/2 и cov=0,05. Попарные положительные ковариации увеличивают дисперсию суммы.

Var(S)=3·1/4+2·3·0,05=1,05

Попарные положительные ковариации увеличивают дисперсию суммы.

Задача

I₁,I₂,I₃ — индикаторы, P(I_i=1)=1/2, а Cov(I_i,I_j)=0,05 для каждой пары. Найдите Var(S), S=I₁+I₂+I₃.

Var(S)=ΣVar(I_i)+2Σ_{i<j}Cov(I_i,I_j).

Каждая variance Bernoulli(1/2) равна 1/4. Три пары covariance:

Var(S)=3·0,25+2·3·0,05=0,75+0,30=1,05.

При нулевых covariances было бы 0,75. Положительная зависимость увеличила разброс общего числа успехов.

Попарные covariances сами по себе не задают полностью совместное распределение трёх бинарных величин; задача просит только variance суммы.

Редакционная практика по covariance/variance probability_pro · CC BY 4.0.