Три Brownian интеграла: E, variance и covariance

At=∫Wu²dWu, Bt=∫Wu⁴dWu, Ct=∫Wu²du: E(A)=0, E(C)=t²/2, Var(A)=t³, Cov(A,B)=15t⁴/4, Var(C)=t⁴/3.

Условие

A_t=∫W_u²dW_u, B_t=∫W_u⁴dW_u, C_t=∫W_u²du.

Ответ источника

E(A_t)=0, E(C_t)=t²/2, Var(A_t)=t³, Cov(A_t,B_t)=15t⁴/4.

Для C источник пишет Var(C_t)=7t⁴/12−(t²/2)², что упрощается до t⁴/3.

Инструменты

E(W_u²)=u. Изометрия Ito даёт Var(A)=∫E(W_u⁴)du=∫3u²du=t³. Для covariance двух Ito-интегралов применяется E∫W_u⁶du=∫15u³du.

stochastic_pro, задача 230 · CC0 1.0. Все моменты ключа сохранены; последняя variance упрощена.